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on a 



A(U„U„...,U,„) = rA(A„A,. ...,A„), 



T désignant le déterminant de la transformation. 



Soit d'autre part SA la somme des éléments dans la diagonale principale 

 d'une matrice quelconque A, et désignons par '^ (Ai, Ag, ... AJ le résultat 

 que l'on obtient en remplaçant SA,- Ay par S A, A, dans A. Alors je trouve 

 que V =z o si A ^ 0, et vice versa. On a d'ailleurs 



V(U„U„ ...,U„,) = T^V(A„ A„ ...,AJ. 



Soit 7 le nombre des racines distinctes de l'équation caractéristique d'une 

 transformation quelconque Aç de G, et soit s la valeur maxima de ^ pour 

 toutes les transformations de G; alors nous avons le théorème suivant : 

 Si G est complètement réductible, les divisions élémentaires sont simples pour 

 chaque racine de l'équation caractéi'istique de toute transformation A^ de G 

 pour laquelle ff = s. 



D'ailleurs le groupe G est irréductible, si, et seulement si, aucun des coeffi- 

 cients y.,j {'Ç) de la transformation générale de G n'est identiquement nul, et 

 si, en même temps, les n transformations 



où 



<'=1, •4'" = (p,q = i,2,....n;q^p) 



peuvent être exprimées linéairement au moyen des transformations de G. 

 Au moyen de ce corollaire on peut démontrer que le groupe orthogonal 

 propre où n > 2 variables est irréductible. 



La totalité des transformations linéaires (ou matrices) A = 2,"'=i «A pour 

 toutes les valeurs possibles de «j, a,,, ..., a„ constitue un groupe G à 

 n variables avec m paramètres essentiels. Chaque transformation de G est une 

 transformation de G; et, comme les paramètres de G sont essentiels, on 

 conclut que m ^ r. Donc, si r = n^ G est irréductible. Pour que A soit une 

 transformation de G, il est nécessaire et suffisant que «i, a.,, ..., a,„ satis- 

 fassent aux n- équations 



a,^,,(rw) + a,a,,(;<^0 + ... + a,„«,;y(?<"'>) - a,X'-) (^•,y = 1, 2, ..., n). 

 Soit R un domaine arbitraire de rationalité, et exprimons maintenant 



