SÉANCE DU 7 MAI 1906. "1029 



d'après lequel de tels développements sont possibles d'une infinité de 

 manières. Partons des équations 



dv , d)i 



dx il.i- 

 tl'où 



V = A cos(/i'.r — 0), H = A sin(A,/" — 0). 



Si /.■ prontl une intînité de valeurs, I;-j (v entier variant de — v. à -\- a), 

 on a 



Çp fi r. 



( 1 ) kj Vu. Vj dx — ka «V II., dx = {u-j Vy.)'\ 



Permutant y et v, en supposant le second membre nul, on conclut que les 

 deux intégrales du premier membre sont nulles, si y. = v, et non nulles, 

 mais égales, si <j- = v. 



C'est Là le fondement dos développements trigonométriques classiques. 



Je me suis proposé d'abord de cherclier à réaliser d'une manière aussi 

 générale que possible la condition 



(~) («•^%).. = ou ;^ = ^. 



Prise sous cette dernière forme, on voit que les deux rapports qui la 

 constituent ne peuvent être égaux, quels que soient y et -j, que s'ils sont 

 indépendants de ces indices. Je leur attribue une valeur commune constante 

 tanga>. 



Dans ces conditions, le système 



s\n(ky. — 0) cos(ÂÊ — 0) 



^ ' Sm(/.'P — 0) '^ ■ ' L'OS(/,'a — ij) "^ ■ 



ou 



sin2(/,'a — 0) = sin2(/<i — 0), cos/i(:5 — y) = sin2ï, 



d'où l'on tire 



2'j- ±{'- — 2 



i) ,_ V- V . .:,_.^- „MP 1- 2;. -M 



- ^ .4 



r^-a 



donne en effet, en suppo.sant /. choisi une fois pour toutes, une infinité de 

 valeurs k.j et 0.,. 



