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Raisonnant alors comme à l'habitude, on obtient les deux dévelop- 

 pements (i) 



2 "■^ ■v[!i* cos/, r\i'^' ,v, ces/, ., , \ ,. 



/■(■ 



On voit qu'ils conliennent , dans /.'^ et 0.^, /c paramèlre arbitraire 'l,. Par 

 addition on a 



/(■^) = ^^_2 |V(^)cos^v(^-ç)^;, 



ce qui est plus général encore que le développement de Fourier qui corres- 

 pond à 4'i = 77. Un autre cas, plutôt singulier que particulier, des consi- 

 dérations précédentes est celui où l'un des rapports (3) prend la forme : ; 

 l'autre alors n'est pas forcément invariable. On retrouve ainsi quatre séries 

 connues que M. A. Kneser a formées de son côté par un procédé nouveau 

 [Malhematische Annalen, 1904, t. LVIII, p. 192). Si l'on essaye de vérifier 

 directement que les expressions (4) satisfont bien aux équations (3) on voit 

 que les rapports constituant les premiers membres ont leurs deux termes 

 séparément constants. Les termes d'un des développements obtenus sont donc 

 représentables par des courbes sinusoïdales coupant les droites x = a, 

 a; = p en des points fixes dont le rapport des ordonnées est tangs pour le 

 développement en sinus, cotga pour celui en cosinus (2). Telle est Vinterpré- 

 tation géométrique de ». 



Cette constante -f , si l'on multiplie un des développements par une fonction 

 arbitraire de o et si l'on intègre, permet d'obtenir une infinité de dévelop- 

 pements nouveaux pour f{x). Les intégrations par rapport à a; sont exactement 

 de même nature que celles qui se présentent lors de la formation d'une série 

 trigonoraétrique ordinaire, puisque :i figure linéairement dans /,■ et 0. 



(1) La question de la convergence de ces développements est sans difficultés sérieuses. On 

 peut généraliser le procédé ordinaire. On peut aussi, par dos intégrations par parties des 

 coefficients, scinder les développements en d'autres, dont le moins convergent est comparable .-'i 

 une série harmonique qui converge grâce aux changements de signes que subissent continuel- 

 lement ses termes. (Voy. A. Kneser, loc. cit., p. 90, et E. Picard, TraHé d'analyse, t. V', 

 'i" édit., p. 253.) 



(2) Si ), est pair. L'inverse a lieu si ), est impair. Des discussions sont d'ailleurs nécessaires 

 quant au.\ doubles signes des formules (.1), mais elles n'ont rien d'essentiel à signaler ici. 



