SÉANCE DU 7 MAI 1906. 1031 



Analyse mathématique. — Sur certaines séries asymptotiques. 

 Note de M. L. Schlesiager, présentée par M. H. Poincaré. 



Considérons un système ditférentiel linéaire : 



(A) ^ = |;^y,a„ (/c = l,2,...,r^), 



dont les coefficients a,,., supposés fonctions rationnelles de la variable x, 

 dépendent d'un paramètre f^-, do manière que l'on ait 



(1) «,, = «Y«;ï + 1 «'.',' + .. 



où r représente un nombre entier positif; les dl sont aussi des fonctions 

 rationnelles de x, et les séries du second membre convergent pour mod p > R, 

 R étant indépendant de x. D'après un tliéorème connu (i), le point p. = oo 

 sera un point essentiel pour les éléments d'une matrice intégrale (/jj), se 

 réduisant aux valeurs initiales. 



(2) 4(a;o) = p'(^yi:'+i-/lI' + 



au point régulier a?o, et envisagés comme fonctions du paramètre «. 



Nous allons étudier ces fonctions au voisinage de p. =00. Supposons, 

 pour simplifier, - = 1, >. = 0, et formons les séries 



(3) 2/, = e.'-(<' + i. <•+...). 



En les substituant dans le système (A), on obtient pour la détermination 

 de oj et des i/f les formules suivantes : 



d'où l'on tire pour w = 



(5) "'--^■'■Wc =^' (^/' = 1.2, ...,«). 



Soient ùi, ..., w,, les racines, supposées différentes entre elles, de cette 



X 



équation algébrique de degré n en «=---, et posons &),. = « rfj-. Si dans les 



x^ 



(i) Voir p. e. Houn, Mathem. Annalen, t. LU, p. 343. 



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