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équations (4) on substitue pour — l'une quelconque des racines ôj,, ces équa- 

 tions vont déterminer les y^p correspondants, que nous désignons par 

 y% à l'aide de quadratures. Nous aurons donc n systèmes de séries delà 

 forme (3) : 



(6) e'^->(y'S + -y^^-\-. 



satisfaisant formellement au système (A), mais divergentes en général. 

 Posons 



les z^ vont satisfaire à un système différentiel de la forme 



(B) È-f^^-^ + inQv ^■iri.^Q)., 



0. 



Soit X ^ a l'affixe d'un point régulier, c'est-à-dire d'un point qui n'appar- 

 tient pas aux points singuliers du système (B), et considérons sur un rayon, 

 issu du point a, un point b, tel que tous les points de l'intervalle (a...b) soient 

 aussi réguliers. Supposons que le paramètre jj. s'éloigne à l'infini, avec un 

 argument constant, c'est-à-dire le long d'un rayon, et introduisons dans le 

 système (B) la variable réelle et positive l, définie par l'équation 



lj.{x — a) = le , 6 = arg {x — a) + arg a, 



comme nouvelle variable indépendante. Soit Ch celle des déterminations de 

 la fonction algébrique Cu pour laquelle la partie réelle de w,e®l^~' soit la plus 

 grande, quand x reste sur son rayon entre a et b. Pour le système (B) trans- 

 formé on conclut, en raisonnant d'une manière analogue à celle dont se sert 

 M. Poincaré {Amcriain Jotirn., t. Vil, p. 204-209, cf. IIorn, Acta 

 Mathem., t. XXIV, p. 290), qu'il existe un système intégral ^i ..., :■„ dont 



les quotients — tendent vers zéro, si y. va à l'infini le long de son rayon. Ce 



lemme suffit pour pouvoir démontrer (cf. IIorn, loc. cil.) l'existence d'une 

 r.iatrice intégrale du système (A), ayant la forme 



?/,, = e-"/ (^yS? + ■ • • + ^ yll" + y) ('. /.• = 1 , 2, . . . , »), 

 où p désigne un nombre entier positif quelconque, et où les fonctions Y^ de x 



