SÉANCE DU 7 MAI 1906. 1033 



et de u. s'évanouissent quand ,y, va à l'infini, le long de son rayon, pour chaque 

 valeur de se entre a et b. 11 s'ensuit qu'un système intégral iji, ..., y,,, dont 

 les valeurs initiales pour x = Xq sont représentées par des séries conver- 

 gentes ou asymptotiques de la forme 



peut être représenté asymptotiquement en général par des séries de la 

 forme 



c,"(-.+v)('v/,:' + i <! + ••■), 



pour les valeurs de x situées entre a et b, ''^ étant celle des intégrales abé- 

 liennes 'o, pour laquelle la partie réelle de y.«i est la plus grande (i). 



Ajoutons quelques remarques relatives à un cas spécial important. Soit (A) 

 un système canonique : 



et supposons que les points singuliers a^, ..., a^, aussi bien que les racines 

 des équations déterminantes, relatives i\ ces points et au point .-z; = od, soient 

 indépendantes du paramètre [j-. Les A',;' seront donc développés, comme 

 fonctions de y-, en des séries convergentes de la forme : 



On démontre aisément que, dans ce cas, les «,• sont des intégrales abé- 

 liennes de première espèce, et que les points de ramification de la fonction 

 algébrique « coïncident avec les points singuliers du système (A*«). 11 

 s'ensuit que, lorsque a passe à l'infini avec un argument quelconque, les 

 éléments d'une matrice intégrale aux valeurs initiales (2) (avec / = 0) 

 deviennent en général infinis pour tous les points x, intérieurs à l'étoile de 

 M. Mittag-Leiiler, relatif au point x„, et que les coefficients des substitutions 

 fondamentales deviennent aussi infinis, sauf un cas de réductibilité extrême. 

 La dernière remarque est importante au point de vue des cas limites qui se 

 présentent, si l'on applique la méthode de continuité à la démonstration de 

 l'existence des fonctions satisfaisant au Problème de Riemann (voir Journal 

 de Crelle, t. CXXX, p. 43). 



(i) Dans son mémoire cité des Mathem. Annalen, M. Horn a démontré, en appliquant la 

 méthode des approximations successives, un théorème relatif à une équation linéaire du second 

 ordre, rentrant comme cas très spécial dans le théorème que je viens d'énoncer. 



