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et envisageons la graduation complète, qui revient aboutir au zéro pour y 

 déposer une dernière masse égale à 11. 



On obtient alors, en supposant q = n dans les valeurs de .r et 3/ (8) 



(q) Ç = — J — , y, = ] — cotang -^ . 



Nous retrouvons ainsi les formules de M. Laisanl. 



Si par exemple on considère la graduation en degrés sexagésimaux, le 

 centre de gravité se trouvera sur le rayon de ajo" 3o', à une hauteur de 



.777- au-dessus de celui de 270". 



Nos formules permettent en outre, au lieu d'une graduation ordinaire 

 d'un seul tour, d'envisager l'ensemble de N révolutions. On trouve, pour 

 ce cas plus étendu, des expressions tout aussi simples 



colaug 



(10) £'^ ï ' " 



N7( -f I ' ' Nh + I 



Lorsque N ])rend des valeurs successives, le centre de gravité se main- 

 tient donc toujours sur le même rayon, eu se rapprochant du centre de 

 figure à chaque tour, conformément à la formule ^^^ ^ coséc— . 



6. On peut donner à ces recherches une assez grande extension. Sup- 

 posons en effet que l'on range en cercle, non plus les nombres naturels, 

 mais leurs carrés, ou plus généralement leurs puissances paires d'expo- 

 sant quelconque aj. Le moment relatif à l'axe des ordonnées deviendra 



\ /.:-' cos a/.a, et se déduira des fornuiles (3) et (5; à l'aide de 2/ dilférentia- 



p 



tions successives 



rf-2'' S' 



'1 



S' N ■ . ■ V' ■ 



~ = f — iV 2-' y k-' cos ■! /ra. 



Le moment N W^ sin a/.a relatif à l'axe des abscisses s'obtiendra de la 



même manière à l'aide de S. 



Si l'on dispose circulairement les cubes des nombres naturels, ou géné- 

 ralement leurs puissances impaires d'ordre 27 4- i, on aura également 



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l4ti|-= (_ iV 22i + ' yA-V+ ■ cos 2/,-a, 



