I074 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Proposons nous, en revenant à la graduation simple, de faire passer une 

 courbe continue par tous les centres de gravité de ses divers arcs <i = ar/a. 

 Les formules (8) donnent alors 



^9 (e _|_ oa) -^^ = 6 sin a sin (<] + a) — a ( i — cos 9) , 

 3/9 (9 + aa) -^^ = — h sin a cos (9 + a) + -jl sin 9, 



ou, en ordonnant par rapport à sin 9 et cos 



( 9 sin a cos a. sin 9 + ( a + 9 sin'a) cos 9 = a -f ,r 9 (9 + aa) ^^ . 



(il) \ sin-a 



f [y. + 9 sin-a) sin 9 — 9 sin a cos a. cos 9 = 7/9 (9 -f aa) ^^^ • 



Pour obtenir une solution du problème indéterminé que nous nous 

 sommes posé, il suffit d'éliminer 9 entre ces deux équations. Remarquons 

 que les coefficients de sin 9 et cos 9 sont les mêmes, intervertis comme 

 valeurs et comme signes, d'après le type 



Asin9+ Bcos9 =:C, B sin 9 — A cos 9 = C 



On en déduit : 



(A- + B-) sin 9 == AG + BC, (A^ + B-) cos 9 == BC — AC, 



et en ajoutant les carrés 



(A^ + B^)^ = (AG + BG')- + (BG — AG')^ = (A^ + B^) (G^ + C'^). 



Il est permis de supprimer le facteur A" + B\ car les conditions simul- 

 tanées A = o, B — o seraient incompatibles en 9. Il nous vient d'après 

 cela cette résolvante purement algébrique par rapport à 9 



(la) A-+B^ = G^ + G'^ 



rsin=acos^a + (9sin^a + aV=[a+.r9(9 + 2a)i^|'+/&n^ + 2«')^ 



Elle est du quatrième degré, mais on peut y supprimer les facteurs 

 ^ ^'°'' ^ et 9 + 2 a, qui ne sauraient fournir pour 9 de solution acceptable. 



4 a- 



II nous reste alors l'équation du second degré 



,,1 t / -1% \- X 



9- + 2x9 -4- -^ 



X- -\- }- 

 Son dernier terme est négatif, car le centre de gravité restant à l'inlé- 



