IIJ2 ACADEMIE DES SCIENCES. 



Un seul des deux crochets renfermant un terme constant, son carré dis- 

 parait avec la constante du premier membre, lequel se réduit à 



(j2» + 2__ ^} l-l' - ^ , .2.3 ...„0«+l 



(« + i)- n -i- 1 



3. Pour cliercher la loi de formation du second, je m'attacherai à un 

 terme déterminé, par exemple en ^i- " ~ *('). 



Il comprend d'abord, dans les premiers crochets, le carré du terme 

 en f)"-* 



'r {n - ly- {n - if („ _ 3)S 



puis les doubles produits des termes équidistants. Leurs coefficients sont 

 toujours de même signe, et par suite les doubles produits tous positifs 



-j- 2 . Il {n — i) . n (« — i) (/; — 2) (« — 3) {a — 4) {" — 5) 



-h 2 . 1 . u (n — i) (» — 2) [n — 3) {n — 4) {11 — 5) {11 — 6) {it — 7). 



Pour les seconds crochets, il n'y a pas de terme carré, mais les doubles 

 produits de 8"-^et9"~^, ainsi que des termes équidistants. Les deux fac- 

 teurs sont alors désignes contraires, et les doubles produits négatifs 



— 2 . Il {n — i) (n — 2) . Il [n — i) (h — 2) [n — 3) {n — 4) 



— 2 . Il . n [n — i) {n — 2) [n — 3) (« — 4) (« — 3) (« — 6). 



On reconnaît partout un facteur commun 



Il {il — i) [n — • 2) [n — 3), 



à multiplier par l'ensemble suivant : 



{il — 4) ('* — 5) [il — 6) (« — 7) — n. [a — 4) (« — ■ 5) (n — 6) 

 -+■ n {n — i) . [a — 4) ('^ — 5) — " (,"■ — (« — 2) . [n — 4) 

 + H (« — i) (h - 2) (n — 3) + etc. 



Ce symbole, etc., représente, en ordre interverti, la partie située à gauche 

 du dernier terme, d'après le dédoublement des doubles produits, dont j'ai 

 supprimé pour ce motif le facteur 2. 



Or je dis que ce polynôme est équivalent au produit 



in - 5) [a - 6) {Il -^) {11-8). 



(') Il serait facile, après avoir saisi cette explication sur l'exemple G'''" ~ ', de la 

 transcrire plus longuement pour G-'"" ', en la ramenant aux ^puissances, de k -i- 1 

 à 2 fc, du binôme i — z, lesquelles s'annulent toutes pour : = i . 



