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MÉCANIQUE. — Centres de gravité de systèmes spiraloïdes, 

 par M. Hatox de la Goipillière. 



I. On a pu voir dans notre précédente communication (pageii3o) quels 

 obstacles rencontre la recherche du lieu géométrique des centres de gra- 

 vité d'une ligne dont la densité varie en raison d'une puissance entière et 

 positive de sa longueur, pour une figure aussi simple que le cercle. En 

 vue d'un résultat plus complet (tout en élargissant la généralité de l'expo- 

 sant), j'envisagerai la spirale logarithmique. Elle justifie encore la devise 

 de Jacques Bernoulli : eadem mutata resurgo ; car le lieu géométrique 

 des centres de gravité des arcs croissants à partir du pôle, et de densité 

 proportionnelle à une puissance positive (entière, fractionnaire ou incom- 

 mensurable) de la longueur, est une spirale égale tournée d'un certain 

 angle. 



Nous prendrons l'équation de la courbe sous la forme 



.. ^_- rtO cot a 



en appelant a l'angle de la tangente et du rayon. La masse élémentaire est 

 s'V/5, et la masse totale 



5JI -f- 1 e(«+ 1) 9 cot a 



ou 



Le moment relatif à l'axe des ordonnées a pour valeur 



r s"ds r. cos f) = —. ^ / e'" + 2) « ""^ « cos S d^. 



J- 00 sin a cos"a J_ „, 



Posons pour simplifier 



[n + 2) cot a =: cot b, 



nous aurons pour l'abscisse du centre de gravité 



ein + 1) » col O I /^* , . , , , r 



.V ■ , ' T- = -■ / e" ^°' * cos f) d e, 



(7i 4" ■) cos» + 1 « sm a cos"« J—x 



^ = („ + .) cot a . e- (" + ') " ™' " r ^i" e + co.. fc cos 9 ^, „, n 



\ ' ' I I -j- cot-fo J 



l'exponentielle s'annulant pour la limite inférieure de l'intégrale, puisque 

 son exposant est positif. On a donc 



.r ^ (h + i) cot a sin b cos (0 — b) e" ""■ ". 



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