SÉANCE DU 28 MAI I906. I I 73 



On trouverait de même pour rordonnée du centre de gravité 



3/ = (« -f i) cot a sin h sin (9 — h) é <^°"'. 



2. Il suffit maintenant d'éliminer entre ces deux égalités. Convertissons- 

 les pour cela en coordonnées polaires 



tang co = ^ = tang (0 — b), 



to = fj — 6 , = w + Z*, 

 p == v/.r^ + y' = (/«+ i) cot a sin h e" '="' " 



= (« + i) cot a sin ie('»+''i™'-«. 



Si nous posons enfin 



{ii-\- \) cot « sin b . e* '"^ " ^ e"= <="' " , 



nous pourrons écrire 



^ ■ ^{w + c) cot a 



c'est-à-dire une équation identique à la proposée, pourvu que l'on fasse 

 tourner de l'angle c l'axe polaire. 



En résolvant numériquement par rapport à a l'équation transcendante 

 c = 2 JiTz, ou 



r'/ ^ 1 T r (" + ') '^Ot « 1 7 



arc cot (// + 2] cot a + tang a Log , , , ,, , =^ ^ ''^~' 

 n ^ J ° ° Ly/i + (n+2)- cot-«J 



on déterminerait des spirales spéciales qui sont à elles-mêmes le lieu de 

 leurs centres de gravité, pour une densité proportionnelle à la puissance a 

 de la longueur. 



3. Le cas ordinaire de l'arc homogène rentre dans ce théorème général 

 pour II = o. En prenant zt = i, on l'appliquera au centre de gravité de 

 l'aire, à la condition de tenir compte de la superposition des spires aréo- 

 laires. En effet, si l'on condense en leurs centres de gravité les secteurs 

 élémentaires qui la composent, on constitue une spirale semblable réduite 

 d'un tiers, c'est-à-dire une spirale égale tournée d'un certain angle et 

 douée d'une densité proportionnelle au rayon, ou à l'arc. On devra ici 

 tenir compte à la fois des deux rotations, pour déterminer des spirales qui 

 soient à elles-mêmes le lieu des centres de gravité de leur aire. 



4- Envisageons maintenant des puissances négatives, en distinguant les 

 trois intervalles séparés par les limites 



