II74 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



Entre zéro et — i, rien à modifier, puisque les exposants n -f- i et /i + 2 

 restent positifs, ce qui annule au pôle le facteur exponentiel. Le même 

 énoncé s'applique donc alors purement et simplement. 



Au contraire, entre — 2 et — 00 , les exposants n -f- i et h 4- 2 étant néga- 

 tifs, les deux intégrales de la masse et du moment deviennent infinies au 

 pôle, ce qui entrave les raisonnements. En revanche nous pouvons recons- 

 tituer un théorème semblable, en substituant à l'arc précédent celui qui 

 s'étend du point décrivant à l'infini ; c'est-à-dire en intégrant, non plus 

 de — 00 à 9, mais de à + 0° . Le facteur exponentiel s'annule maintenant 

 pour la limite supérieure des intégi'ales. Une analyse semblable conduit 

 donc à un énoncé identique, mais relatif à cet arc toul différent du pre^ 

 mier. 



Entre — i et — 2 enfin, il n'y a plus place pour aucun énoncé. En effet 

 n -\- \ étant négatif et n -{- 1 positif, l'intégrale de la masse devient infinie 

 au pôle, tandis que celle, du moment l'est à l'opposé. Aucun des deux arcs 

 ne comporte donc plus notre analyse. 



5. Cette lacune s'étend aux limites elles-mêmes. C'est seulement e« dehors 

 de leur intervalle que s'appliquent les théorèmes. 



Pour n = — 2, en effet, le facteur exponentiel s'évanouit dans l'expres- 

 sion du moment, qui reste purement trigonométrique, et deviendrait indé- 

 terminée pour Q = ± 00 . 



Avec n ^ — i, nous avons le centre de gravité de la courbure. En effet 

 la densité variant en raison inverse de l'arc, ou du rayon vecteur, ou du 



rayon de courbure, la masse élémentaire sera — • , c'est-à-dire l'angle de 



contingence, lequel est égal à d^ puisque ff est constant. La masse totale 

 sera donc 0, lequel devient infini aussi bien vers le pôle que dans le sens 

 opposé. 



6. Finalement donc, nous pouvons formuler l'énoncé suivant : S'i la den- 

 sité des arcs d'une spirale logarithmique carie en raison d'une puissance n 

 [entière, fractionnaire ou incommensurable) de la longueur comptée depuis 

 le pôle, le lieu géométrique des centres de gravite est une spirale égale tour- 

 née d'un certain angle, pour l'arc en question si n est compris entre — i 

 et -\- (x> ; ou au contraire pour l'arc complémentaire qui se développe du 

 point décrivant à l'infini, lorsque n se trouve entre — 1 et — 00 ; aucun 

 énoncé ne subsistant aux limites — i et — 2 elles-mêmes, ni dans leur inter- 

 valle. 



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