SÉANCE DU 28 M\ï I906. II 76 



7. Nous terminerons ces recherches eu envisageant un chapelet discon- 

 tinu formé des nombres consécutifs de i à ^, disposés en forme de gra- 

 duation angulaire le long de la spirale logarithmique, à partir d'un de ses 

 points par lequel nous ferons passer Taxe polaire. Appelons [3 leur inter- 

 valle constant. 



Pour en obtenir le centre de gfïtvité, il suffit d'évaluer les sommes de 

 moments U et V. La masse k a pour azimut 9 = A- ^ et pour rayon vec- 

 teur /■ = e •^''? (en représentant pour abréger cot a par A). On a donc 



'/ 9 



U = y /.-e'"'? cos A-,3, ^' = y f'-e'"'^ sin kp. 







Nous pouvons également ranger sur la spirale, non plus les nombres 

 naturels, mais leurs puissances p entières et positives. Les moments 

 deviendront 



« î 



U^ = y kPe^h 00 s A- p , V,, = y A-''e«-? sin /,- [î . 



O 



8. Introduisons ici les sommes des abscisses et des ordonnées 



u^S e^^'f cos /.fi, '' = y e"' sin /'"?■ 







On en déduit à l'aide du symbole imaginaire i = \/ — i 



1 1 



( I ) « + (7' = y fiAfr.i (cos /.- [3 + / sin /.: !3) = y e*^ (A + ?, 



o 



progression géométrique qui a pour somme 



U + (7 = - 



e A + ijji _ I 



Rendons le dénominateur réel en multipliant par l'imaginaire conjuguée 

 les deux termes de la fraction 



re(î+l)(A+03 — il re(A-i)p_il 



u -X- VI == — i LL ■ j_ 



[e(A + o?— i] [e(A -.■)?_ i] 



__ e(? +3) A ? e^i.3 — e(y+ ^) M el^ + i)'? — e^% e- !? + i 

 ■ e2A3 — e^? (e'.i + e— '?} + i 



Remplaçons les exponentielles par leurs équivalents trigonométriques, 



