SÉA.NCE DU 28 MAI 1 906. II 83 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les propriétés qui, pour Les fonctions d'une 

 variable hypercomplexe, correspondent à la nionoi^énéité. 



Note de M. LÉox Autoa'XE, présentéepar M. Jordan. 



Les propriétés générales des quantités liypercomplexes sont aujourd'hui 

 bien connues. Aussi, pour toutes explications, nous nous bornerons à ren- 

 voyer, par exemple, au Mémoire de M. Fiobenius, « Théorie der hyper- 

 ivomplexen GrOssen » dans les SitzungsljcricJde de l'Académie de Berlin, 

 pour avril 1903. 



Dans un groupe (s), aux n symboles £„ , a, ,3 = i, 2, ..., n ■, prenons: 

 i°la variable x =S Sj .r^ oii les x«. sont des nombres réels ou complexes, 

 coordonnées de x ; 2° la quantité X + S z„_ X„ (.r,..., .r„ ) =/' ((.r)) fonction, 



par définition, de la variable x. Existe-t-il quelque propriété rappelant la 

 monogénéité ? 



Si X, N, X sont des quantités complexes, la monogénéité consiste, comme 

 on sait, en ce que d^z= udx. M. Scheilers {Comptes rendus, mai 1893) a 

 reconnu que cela ne pouvait subsister que dans les groupes à multiplica- 

 tion comnuUative. Voyons ce qui se passe si (s) est un groupe simple; par 

 conséquent n = r. La multiplication n'étant plus commutalive, udx est à 

 remplacer par u.dx.i'. De pareilles expressions u.dx.v ne se réduisent pas 

 ensemble, au moins en général, et le problème se formule ainsi : mettre 

 (^/X = S £„ (ZX„ sous la formes //, . dx . c; , |/= 1,2,..., N|, N étant minimum. 



Il existe une matrice n-aire '^^^', oii chacun des li' éléments est une 

 expression S c„i " , les constantes <•„. étant connues sans ambiguïté 



« dès que (s) est donné. » N estle rang de SV- Vis-à-vis du changement des 

 symboles e, N se comporte comme un invariant, ainsi que les « Elementar- 

 teiler » (Weierstrass) du faisceau de matrices p SV +W- 



Prenons X ^f[{x)),x='^{(y)) d'oiiX = F {(t/)). Comment se comporte 

 '{^ dans ce changement de variable? 



Soient respectivement u , v , n' les matrices "^vV pour les fonctions f a, F. 

 Les n- élénients de u, v , trsont les coordonnées dans un certain groupe (ee), 

 d'ordre /(- ei simple, de quantités hypercomplexes U,V,W. « On a, 

 dans(£e), W =UV. « 



