Il84 ACADÉMIE DES SCIEMCES. 



Cel ensemble de propriétés permet de nommer l'entier N « indice de 

 monogénéité ». 



Pour construire toutes fonctions à indice N donné, il faut annuler dans 

 '^\7 tous les déterminants (N-j- i) — aires et intégrer le système d'équations, 

 obtenu ainsi, aux dérivées partielles du premier ordre. Voici la solution 

 pour N = I , dX =: Il . dx . v. 



On peut, comme on sait, affecter, dans [e), les x et les s d'un double indice 

 j a , [j , y, = 1,2...., /•;« =/•"{, de façon que le groupe (s) soit isomorphe 

 sans hémiédrie au groupe des matrices /-aires 



/ Xu r,,. 



W= 



V'*-"' ^'■'•. 



Il y a quatre types, pour N = i, de fonctions X^ ï 5,^5 X„s [x^^...,Xr,). 



«s 



I. — X :^ K.i'L + M; K, L, M = const. dans (e). 



II. — X = y £„, X„i (4), /„ = NK-.? x.a, K.3 = const. ; 



X„i [t) = fonction arbitraire de t. 



III. — X = \ £15 Xis {xn, .ri», ..., .t'i,.), Xis = fonct. arbitr. 

 s 



IV. — X==y £„.sX''«(w); X„s il)=Jri^{t)pi {l)dl; w= ■■?(?„ ^'ii ••■> 'J v ■••' ^•■)' 

 «s 



(/^ = \ hf x..^, hf = const. ; 7)„. (/), p^ (/), ■} = fonctions arbitraires. 



N étant quelconque, pourquelamatrice'^^soitsymétrique, il fautetilsuf- 

 fit qu'en posant Y; = ^ g.im Xm, gi„, = const., l'expression 



\Y,dxi ) ^, m = I, 2, ..., n * 



i 



soit une différentielle exacte, les gi,,, ne dépendant que du groupe (e). 



