SÉANCE DU 5 JUIN I906. 1257 



de Dj avec C„) contient une courbe qui se décompose en D, et en une 

 courbe d'ordre n — i : C„_i [passant, comme on sait, par les n [n — i) 

 points d'intersection résiduelle de C„ avec G,,]. De même, le faisceau (G,,- i, 

 G,i_i) (G„_i étant le groupe des n — i droites qui joignent P aux n — i 

 points de rencontre de D^ avec C„_i) contient une courbe qui se décom- 

 pose en D., et en une courbe d'ordre n — 2 : C„_2, etc. On détermine 

 ainsi n — i courbes C„_i, G,i_2,... G,i_(„_i), dont la dernière est une 

 droite : G„_(„_i) ^ D,,. 



Cela posé, on a la proposition suivante : 



Le point. V et la droite D^ étant arbitrairement fixés dans le plan : 1° les 

 quatre droites D^, D^, D3, D,, concourent en un même point; 2° leur rapport 

 anharmonique est constant et égal à n. 



Ge théorème, au moyen duquel on parvient à l'invariant numérique n 

 [ordre de la courbe) comme rapport anharmonique, semble être nouveau. 

 On peut le démontrer par dillerentes voies. Voici une démonstration très 

 simple par l'algèbre : 



Le point P et la droite D^ étant arbitrairement fixés dans le plan, soit 

 ,r, :=: j;, = x^ = o un triangle de référence dont un des sommets, x^ = 

 x.^ =^ o, est en P et le côté opposé, x,^ = o, est D^. L'équation de la 

 courbe donnée G„ pouvant être ramenée à la forme 



C„ = xl cp + x'^ - ^ »j + . . . + .r, 3,i _ 1 -f- '^„ = o, 



Oo étant une constante et », (f = i, 2,... n) un polynôme homogène de 

 degré ( en x^, x.,, l'on trouve immédiatement : 



D, =-j,==o, D., = x^=^o, D3 = 3, + H j^ a;, = o, D,, = 3j + cp„.r3 = o; 



d'où il suit que les quatre droites Dj, D^, D3, D, concourent en un 

 même point (.s, = x.^ = o) et que leur rapport anharmonique est égal 



a —^ =^ Ji. c. q. I. d. 



En particulier, pour« = 2 (conique) : Les quatre rayons : D,, D3, D^, D,,, 

 ainsi que les quatre rayons : D„ D^, D^, D^, sont en sïTV.KTioy harmonique. 



Je m'abstiens d'énoncer le théorème que l'on déduit par dualité, et 

 qui donne l'invariant numérique m [classe de la courbe) comme rapport 

 anharmonique de quatre points en ligne droite. 



2. Examinons le cas particulier où l'on fait coïncider P en un point 

 (/•)pie [,• <; ,; — [) de la courbe donnée. Écrivons G*,'' au lieu de G„ et D 



