1258 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



au lieu de D,. Soient : II,- le groupe des /• tangentes en P à la courbe C,;' ; 

 n,. + 1 le groupe des/' + i tangentes en P à la courbe, unique, du fais- 

 ceau (C;', H, D„_,.), qui a un point (/■+ i)p"= en P; L^ ,la(«— r— i)^""' 

 polaire de P par rapport à C^;'. Le faisceau {C\'i\ G„) (G„ étant le groupe 

 des 11 droites qui joignent P aux n points de rencontre de D avec C'J') con- 

 tient une courbe qui se décompose en D et en une courbe d'ordre n — i : 

 Cî,'''_i. De même, le faisceau (Cj^Li, G„_i) (G„_i étant le groupe des n — i 

 droites qui joignent P aux n — i points de rencontre de D avec Ci^'l_i) con- 

 tient une courbe qui se décompose en D et en une courbe d'ordre /( — a : 

 C*fî_2, etc. On détermine ainsi 71 — /• — i courbes: CSj'Li, CJ,''L2^•■■ C^'L^,i_,._ i), 

 avec un point (/■)!'''= en P, dont la dernière, C^I'L („_;._ i) = Ci,''| i, est une 

 courbe monoïde d'ordre /■ + i. 



On a dans le cas actuel la proposition suivante : 



La droite D étant arbitrairement fixée dans le plan : i° les quatre courbes 

 d'ordre /• + i : H. + i, DH,., L|.'|„ C^;\, appartiennent h un même faisceau; 

 rï° leur rapport anharmonique est égal h n — /■. 



En effet, la droite D étant arbitrairement fixée dans le plan, soit .r, = 

 .r, =:.r3 = o un triangle de référence dont un des sommets, .ri =^.r, = o, 

 est en P et le côté opposé, .1-3 = o, est en D. L'équation de la courbe 

 donnée C'„'' pouvant être ramenée à la forme 



(a) CM = x\-'- -f ,. + .i-ï -""'?,. + 1 + ... + .r, c?„ _ 1 + -f „ = o , 



tp (t ^ /•,/•+ I,... h) étant un polynôme homogène de degré i en x\, x.,, 

 on a tout de suite : 



Hr + 1 = », + 1 = o, DH, = A\ œ, = o, L<.''î^ , == -j,. ^ j _|_ (« _ /•) x^ o, = o, 



G, + 1 ^ ?,• + 1 + X'3 'fr = o ; 



d'où il suit que les quatre courbes d'ordre / -f- i : II, -1-1, DH„ L;.'|,, 

 Cj-'li appartiennent à un même faisceau et que leur rapport anharmonique 

 est égal à n — /■. c. q. f. d. 



Pour /• ^^ n — 2 [courbe hyperelliptique d'ordre n avec un point (« — 2) 

 — pie] le rapport anharmonique des quatre courbes d'ordre n — i : H„ 1, 

 DH„_2, LlJTi^), Ci;'rf' étant égal à 2, l'on déduit que : les quatre courbes 

 H„_i, h'-;!^Z i\BBn- 2, C'-;^zf,ainsiquelesqualrecourbesL'^-C\ H„_2, DH„_2, 

 C,'''~i'', sont en situation harmonique. 



