SÉANCE DU II .UIN X90G. 1827 



à la série R == « d'Emile Mathieu. On a d'ailleurs, en première approxi- 

 mation, 



rp Il — ;(' 



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Sans entrer dans le détail de ces développements, on j)eiit se rendre 

 compte du lien étroitqui existe entre les intégrales de l'équation (i), rela- 

 tives à II et II', en raisonnant comme il suit. Désignons par y (r) la série (3) 

 en retenant 'i, (.r) pour désigner la série (a-; on tire alors des équations (i) 

 relatives aux paramètres n el ii' la relation 



^, 7 ■ _ i," ■/. = [I, _ H') i^ /, ^, /' _ .;, y H- ;.,) = G, 



où j'ai fait Z Çr] =: (/;' — n) _^i, !x) y (.r) d.v. 



11 s'ensuit celte expression de la deuxième intégrale 



en observant que la dérivée o' ,.j) s'annule en même temps que 'i/, (,*}, on 

 constate aisément que la seconde partie du deuxième memljre t'st une trans- 

 cendante entière, négligeable avec n — //. 



Je termine en indiquant comment on pourra procéder dans la recherche 

 de la deuxième intégrale de (i), (L., (x), dans le cas où n ne dépasse pas 

 certaines limites, cas où la méthode de Heine est commode. Supposant 

 connue la série (2),jeposf 



se 



'l'i (■*■') = '■? (•'■) + ■'■ '\'i C*")» '■? (■*■) = ^- / <'. '^i" -'•'•'■• Vi (-^O = ' + '^- / ^' ^os 2v.r. 



1 

 On constate a priori que o {.v) est une transcendante entière et pério- 

 dique et il ne reste qu'à obtenir les coefficients C,. Ils résultent de l'équa- 

 tion difFérenlielle 



-V-7 h I" + 3"' l'OS 9.x] 'J + 2 ■!/,' (x) = o, 



a.i- ' ' ' ' , 



sous la forme 



r. = 0, c, + II, ; 



les quantités Qv et Rv sont des fondions des b et des constantes m, ii, qu'on 

 calcule successivement à l'aide des relations récurrentes 



q., + , = i:^!^ o, _ (>. _ , ; ( )„ = o, Q^ = ,, 



R, + , = — ^^ R. — 1.,- 1 + -^ ; h, = R, = o. 



c. R., i9o(i, I" Semestre. (T. CXLII. X» 24} '74 



