I402 



ACADEMIE DES SCIENCES. 



'i" On peut à laide d une transformation (i) réduire le groupe des termes du 3« degré 

 de [il, f) à l'une des formes 



- ur + r-). 



— Il- I', -r II'. 



1 ' 6 ' 



en choisissant convenablement •; et 7' on peut par conséquent réduire l'élément {■a) 

 ou (4) à l'une des formes 



(7) 

 («) 



^ ds- = Il du^ -\- -A e, du dv + c r/c-, 

 ( ds- =z II du- -j- -j. Cl du df + c, dv-. 

 ^ ds- =^ i' du- -j- A II du di' -\- Ci dv-, 

 > ds- = c du- -\- -1 c, du dv -\- c-, dv-. 



Comme la courbure des éléments linéaires de la dernière ligne est nulle, ce qui n'est 

 pas le cas des surfaces (i), on conclut que ces surfaces ont un élément de la forme (7) 

 ou (8), où c-,^0, Ci^o. Dans (7J la constante l\ est essentielle, dans (8) on peut faire 



disparaître c,, en posant, par exemple u = ui\^/7,, v = -j=. On aura donc (7) et 



(8') ds- =^ V du- -(- j (( dudv -\- dv- 



comme seuls éléments linéaires qui correspondent à des surfaces (i). Pour distinguer 

 maintenant parmi ces surfaces, celles dont l'élément linéaire réduit est (7) de celles dont 

 l'élément peut se réduire à (8), nous remarquons d'abord que les expressions 



abc 



a b n, bi 



«1*1 



D = 





a, b-. 



a b 

 a. b. 



I 



se reproduisent, à la suite d'une transformation (j), multipliées respectivement par 

 (a^' — ^a')'', (a^' — pa'^)« ; il en résulte que 



A- 

 W 



reste invariable pour toute transformation ('j). On a pour (7), I := — — 3-; pour (8'), 



A = (>, donc I := o ; pour les deux D :^ 0. 



Calculons maintenant I à l'aide de A,B, C. On peut poser, par exemple, 

 dans (0 



i. / i — A« — Bf 



_3_ 

 U 2 



et former l'élément (2) correspondant. On trouve ainsi 



4 (A» + B« + C — îB» C-' — iC'A-' — aA- B^j^' 



(9) 





gA^' B' C- 



Toutes les surfaces (i), pour lesquelles l'expression (9) de l'invariant I 

 a une même valeur diflérente de zéro, ont un même élément réduit (7) et 

 sont par conséquent applicables les unes sur les autres. De même, toutes 



