Ij^o/j ACADÉMIE DES SCIENCES. 



sont celles-là que M. Painlevé a omises dans l'applii^ation de sa méthode. 



J'adopte ici les mêmes notations que M. Painlevé ; les lettres ah ..li 

 désignent des fonctions analytiques de X, )-, ;j. des combinaisons algébri- 

 ques de ah...Ji et de leurs dérivées jusqu'à un certain ordre ; a, |3 des 

 constantes numériques et s le nombre o ou i. 



L'équation (E;, d'après un résultat de M. Painlevé, doit être de la l'orme 



--(■ 



X'i , „Y- + n- +_ç y, d\' + eT-' + /'Y-' + gV -f- h 



Y ' Y 



et l'on trouve, en appliquant les conditions ultérieures de M. Painlevé, 

 que, sauf pour les valeurs 2, 3, 5 de l'entier «, a et d ou bien sont nuls 

 tous deux, ou bien sont liés par la relation d = — ,^ , de même sau( 



pour n = :>-, c et /* sont ou nuls tous deux ou liés par la relation 



(« — 2)- 



Pour « = a, a et d sont ou liés par les mêmes relations ou bien par 

 l'une des deux suivantes : a nul, d quelconque ou bien d = —^ . Pour c 

 et /^ ils sont ou nuls tous deux ou bien c nul, h quelconque. 



Pour // = 3, en dehors des cas généraux qui subsistent, on peut avoir 

 d ^^ — et de même pour n = d, « ^ arr. 



En réunissant ces hypothèses, on est conduit à former 14 types d'équa- 

 tions dont l'étude conduit encore à regarder « ^ 4 comme valeur singu- 

 lière. En dehors d'équations intégrables ou réductibles aux transcendantes 

 définies par des équations différentielles du second ordre signalées par 

 M. Painlevé, j'ai obtenu un type unique de transcendante nouvelle 



^" = "S" + T 3/' + 4.^^i/= + 2 (.f^ - a) ^ + ^ . 



On peut dans chaque cas, par une substitution Y = A(X;\y, x = ;-t(X), 

 ramener l'équation (E) à un nombre fini de types canoniques que je vais 

 énumérer ici pour /( quelconque. 



Premier type : n quelconque ; a ^ 0, cl =z 0. c = // =^ o. 

 Ces relations entraînent e ;= o, sauf si n égale t ou ',, g = o, saut si n =: \. 

 On obtient d'abord les .', types indiqués par M. Painlevé, un pour /i quelconque, 3 pour 

 n = 'x, puis les 1 types suivants correspondant à n = \ : 



y" = 4 -^ + i-q {■'■■) y' -f- ■','/' + ('-q' — ''/') 'J 



