l4o6 ACADÉMIE DES SCIEIsCES. 



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fj, r, s sont liés par une relation oîi leurs dérivées figurent algébriquement jusqu'à 

 l'ordre n — -i. 



AAALYSE MATHÉMATIQUE. — SurVéquation de Laplace a deux variables. 

 Note de M. Cii:oR<iES Lery, présentée par M. Humbert. 



I. Soit une courbe algél^rique C, de degré //, dont l'équation s'écrit 



en posant 



z=.x + iy, z' = x — iij. 



Cette équation définit i;' comme une fonction !^' (;) ; X, (;') étant l'imagi- 

 naire conjuguée, on peut dire que le point i^ est l'image de :; par rapport 

 à C. 



Un point z ^ n images ; si z vient sur C, une de ses images arrive à se 

 confondre avec lui : la fonction à ii Ijranclies Ç' (:;) — ;' a donc une déter- 

 mination nulle sur C. Ses points critiques sont les foyers et points mul- 

 tiples de C. 



Soit ;„ un pointdonné dans une région R, limitée par une branche C, de 

 la courbe ; la fonction 



? {-.') - --0 



est une solution de l'équation de Laplace, simplement infinie en z^. Elle 

 sera nulle sur C, et uniforme dans R si l'on prend pour X, l'image qui se 

 confond avec z sur C, et si cette détermination !J (:;') est uniforme dans R. 

 2. Supposons ces conditions remplies, et qu'en outre l'équation 



X,{z)-z„ = o 



n'ait pas de racine dans R ; la fonction t qu'on vient de définir, introduite 

 dans la formule de Green, permettra de calculer-^Y^ si l'on connaît U 

 sur C,. 



Si l'équation précédente a des racines c/,..., :;',, dans R, on prendra 



_11 (?'—=',) ni-J — z'i) 



En particulier, lorsque la courbe n'est pas circulaire, p a pour valeur i ; la 



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