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l'équation 



où l'inlégrale double a un sens et qui rentre dans le type de l'équation de 

 Fredholm. 



Si nous ne sommes pas dans un cas singulier relatif à cette équation, 

 nous pourrons obtenir la solution unique répondant à (p). Mais une ques- 

 tion se présente ici qui demande quelque attention. Pourra-t-on de l'équa- 

 tion (p) remontera l'équation (a), puis de celle-ci à l'équation différen- 

 tielle (i)? 



On voit facilement que la' chose sera possible, si la fonction u{x, y) tirée 

 de (|î) a des dérivées partielles du premier ordre restant finies dans C et 

 sur C et si elle a à l'intérieur de C des dérivées partielles du second ordre. 

 Il faut donc établir que la fonction u(^œ,y) tirée de l'équation fonction- 

 nelle ([3) jouit de ces propriétés. Il en est bien ainsi, si les coefficients de (i) 

 admettent des dérivées jusqu'au second ordre. On peut le montrer, en 

 substituant;! l'équation (p) une autre équation fonctionnelle qui en est la 

 conséquence. Posons 



f{x,y; ,, •,) = - y-^^ + -_^ _cG|, 

 et ensuite 



J\{x,y; s, a)=jj/{œ,y; u, v)/(u, (■•; s, r,)du(h. 



Notre fonction ui^x, y) satisfera à l'équation 



( u(x,y)—j j /,(.v,'y; s, ':)u(s, a)ch(ii 



(r) ] ../. 



I =\{a',y) — j j J{a.',y; s, n)^(s, r,) ds ch. 



C'est de l'équation (y) que nous déduisons les propriétés indiquées rela- 

 tives aux dérivées premières et secondes de u, nous permettant de remonter 

 de l'équation fonctionnelle (p) à l'équation aux dérivées partielles (i). Le 

 problème |)roposé est donc résolu, si nous ne nous trouvons pas dans un 

 cas si/igulier pour l'équation ([i). 



. 3. De ce qui précède, on peut conclure que, en générai, il existe pour 

 l'équation (i) (un contour C étant donné) une intégrale et une seule, 



