SÉANCE DU 2.5 JUIN 1906. l46l 



continue ainsi que ses dérivées partielles des deux premiers ordres à l'inté- 

 rieur de C et s'annnlant sur ce contour. 



Le mot en général sera complètement précisé si, au lieu de (i), on envi- 

 sage l'équation où figure un paramètre arbitraire k î 

 / X à'u d'il , , / Ou , j du , ^,\ _ f 



De ce qui précède, il résulte qu'il peut y avoir des valeurs singulières 

 de /!-, avec lesquelles le théorème précédent n'est pas exact pour l'équa- 

 tion (2). Ces valeurs sont les racines d'une Jonclion entière. Le cas singulier 

 relatif à l'équation (i) est manifestement le cas où k = i serait une des va- 

 leurs singulières de l'équation (2). 



4. Un cas particulier des plus intéressants est celui de l'équation 



0' Il à'^ Il , r 



-T—, + x^ + kcu = y, 

 ùx- ay- •' 



où c{x,y) est positif dans la région considérée. On sait que cette équa- 

 tion a fait l'objet des recherches de M. H. Weber, puis de M. Schwarz et 

 de M. Poincaré. En particulier, M. Poincaré a établi que toute intégrale 

 continue de cette équation prenant des valeurs données sur un contour 

 était une fonction méromorphe de k ayant des pôles simples en nombre 

 infini (d'ailleurs correspondant à des valeurs positives de A). Ce beau 

 résultat est aujourd'hui intuitif, si l'on rattache l'équation précédente à 

 l'équation fonctionnelle 



u{x, r) - :^ //''(^' '^^ "*^^^' ''^ ^^^' '^ ' '■^'-^^ '^^ '^'^ "" '^^'^' ^^' 



La démonstration de l'existence d'un nombre infini de pôles ^,, k.,, ..., 

 /?■„,, ..., est d'ailleurs immédiate, quand on est assuré à l'avance que u, 

 regardée comme fonction de k, ne peut avoir que des pôles simples. On 

 peut suivre la même marche que j'ai suivie, pour le cas d'une seule va- 

 riable, dans le Tome IIl de mon Traité d'Analyse (p. i25). Aux différents 

 pôles ki correspondent des intégrales de l'équation 



()- u 0- Il 7 



s'annulant sur le bord (et non nulles identiquement). J'ai montré autre- 

 fois, à ce sujet, qu'à la première valeur singulière k^ ne correspondait 

 a^nune seule intégrale de cette nature (à un facteur constant près). On sait 



