SÉANCE DU 25 JUIN 1906. l495 



surface d'ordre n — 1 \ F„_2, etc. On détermine ainsi n — 1 surfaces : F„_,, 

 F„_3, .. ., F„_(„_,), dont la dernière est un plan F„^(„_,,^n4. 



Cela posé, il y a la proposition suivante : 



Le point P et le plan Hj étant arbitrairement fixés dans l'espace : 1° les 

 quatre plans II, , Tl^, îl^, ^l^ passent par une même droite; 2° leur rapport an- . 

 harmonique est constant et égal à n. 



En effet, le point P et le plan IIo étant arbitrairement fixés dans l'espace, 

 soit cc, = ûr.2 = .Tj = Xf ^ o un tétraèdre de référence dont un des sommets, 

 x, = x„=^ Xj = o, coïncide avec P et la face opposée, Xi, = o, avec IIj. 

 L'équation de la surface F„ pouvant être ramenée à la forme 



<Po étant une constante et ç, (j = i ,2, . . ., n) un polynôme homogène de 

 degré j'en x,, x.,, x,, l'on trouve 



n,sscp,=;o, Uj^x^ — o, 



Hj^^îi + «<Po^/. = o, n.,^(p, + 90-^4 = o; 



d'où l'on reconnaît immédiatement que les quatre plans II,, lia, IIj, 11^ 

 passent par une même droite (ç, =: x^ = o) et que leur rapport anharmo- 



nique est éeal à — ^ =j: n. c. o. f. d. 



Pour n = 2 (quadrique), on voit en particulier que : les quatre plans Ut , 

 1X3, Ilj, n,, ainsi que les quatre plans H.^, H,, II^, U^ sont en situation harmo- 

 nique. 



Le théorème que nous venons de démontrer et celui que l'on déduit par 

 dualité (au moyen desquels les invariants numériques ordre et classe d'une 

 surface sont exprimés respectivement comme rapports anharmoniques de 

 quatre plans d'un faisceau et de quatre points en ligne droite, bien déter- 

 minés) donnent lieu à plusieurs déductions et applications dans la théorie 

 des surfaces algébriques. D'autre part, leur généralisation dans la géomé- 

 trie à dÇ^ 3) dimensions n'offre aucune difficulté ('). 



2. Bornons-nous à l'examen du cas particulier où l'on suppose que P 

 coïncide en un point (r)?''' (r ■< « — i) de la surface donnée. Écrivons F^" 

 à la place de F„ et II à la |3lace de IIj. Soient : K^ le cône tangent en P à la 

 surface F^"; K^+i le cône tangent en P à la surface, unique, du lais- 



(') Pour rf = 2, voir ma Noie précédente, dans ces Comptes rendus, t. CXLII, 

 séance du 5 juin 1906. 



