1496 ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ceau (F;;', K„ n"-''), qui a un point (r-f- i)'"'' en P; M';;, la (n - /•- ly*"* 

 polaire de P par rapport à F^". Le faisceau (Fj[ , L„) (L„ étant le cône de 

 sommet P passant par la courbe intersection de H avec F)[ ), contient une 

 surface qui se décompose en 11 et en une surface d'ordre n — i, F|", [pas- 

 sant par la courbe gauche d'ordre n(n — i) intersection résiduelle de F|[' 

 avec L„]. De même, le faisceau (F^", , L„_, ) (L„_, étant le cône de sommet P 

 passant par la courbe intersection de n avec F^",), contient une surface 

 qui se décompose en net en une surface d'ordre n — 2, F^^l^, etc. On déter- 

 mine ainsi n — r — i surfaces, F^'l,, F|"„, . . . , F)[l,„,^_,,, dont la dernière, 



p(n __ pi/-) 



ll-in-f-l ) ^ /■+! ' 



est une surface monoïde d'ordre r + i . 



Cela posé, voici la proposition qne l'on a dans ce cas particulier : 



Le plan II étant arbitrairement fixé dans l'espace : 1° les quatre surfaces 



d'ordre r -\- i : K^^,, IIR;., M^'^,, F^'^, appartiennent à un même faisceau; 



2" leur rapport anharmonique est égal à n — r. 



En effet, le plan II étant arbitrairement fixé dans l'espace, soit 



ce ^ —— Ou t^ — '■ OC -^ — "^4 — ^ 



un tétraèdre de référence dont un des sommets, x^=^ x^=^ x^ = o, 

 est en P et la face opposée, x^ = o, en n. L'équation de la surface 

 donnée F^'^' pouvant être ramenée à la forme 



(a) f;;' =<->,+ a-;'-"-'?,^, +. . .+ ^,(p„_, -+- <p„=: o, 



(p,(i:=r, r+ I, ..., «) étant un polynôme homogène de degré i en x^, 

 x^, x^, on trouve tout de suite 



Rr+.^?/-+. = o, nK^E^a:^<î)^=:o, 



M;;', = cp^+, + (« - /)a-.,(p^=o, F^';, = <pr^, +a-,(p,.= o; 



ti'oii l'on déduit immédiatement que les quatre surfaces d'ordre r-f-i, 

 R;.^,, nRr, M).",, F^*"^, appartiennent à un même faisceau et que leur rap- 

 port anharmonique est égal an — r. c. Q. f. d. 

 Pour /' = /« — 2 on a, en particulier, cet autre énoncé : 

 Les quatre surf aces\d' ordre n — i : R„-,, M^fJ,^', nR„_o, F|,"J,'', ainsi que 



MJ''_,*', R„-,, nR„_2, F„'' 

 sont en situation harmonique. 



