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On peut, par un clioix convenable des unités, supposer c = i. 



Considérons donc le cas où c = i . En introduisant au lieu de jr et de y les coor- 

 données semi-polaires R et e., on trouve 



(III) 



où ■( est une constante d'intégration. 



fia 



En éliminant -^^ et en remarquant que ds-^ dR--h dz^-h R^ df^, on obtient 

 ds 



(IV) 



où l'on a posé 



d'-R _ i_dQ d'-z _ I dQ 



'ds' ~ 2 m' 1^ ~ l 11' 

 dRy fdzy- ^ 





Or, en prenant ici pour un moment s comme étant le temps et R et s les 

 coordonnées cartésiennes d'un point matériel/; de masse i dans un plan, 

 le système (IV) représente les équations de moiivcnienl de p sous l'in- 

 fluence d'une force dérivant de la fonction de force '-Q. Tous les résultats 

 connus relatifs à un tel système peuvent donc être ap|)liqnés au système (IV) 

 ce qui donne des résultats correspondants sur les trajectoires dans l'espace. 

 Par exemple, la condition o JQ^i définit, pour chaque valeur de y, les 

 parties de l'espace qui ne peuvent contenir de trajectoires. 



Quant à l'intégration du système (IV) elle se réduit à l'intégration d'une 

 équation différentielle du second ordre, de même forme que l'équation des 

 lignes géodésiques d'une surface, suivie d'une quadrature. Une nouvelle 

 quadrature donne l'angle ff, ce qui déleVmine la trajectoire dans l'espace. 



Cependant, je n'ai pas réussi à intégrer l'équation du second ordre 

 mentionnée en dernier lieu : pour les applications physiques cela n'est 

 même pas nécessaire; en effet, les méthodes d'intégration numérique 

 suffisent pour faire connaître les trajectoires avec assez d'approximation 

 pour en tirer des conclusions importantes. 



Pour les applications aux aurores boréales, un problème fondamental 

 consistait à déterminer toutes les trajectoires venant de l'infini et passant 



