6 ACADÉMIE DES SCIENCES, 



été le point de dépari d'IIermite : 



„.,^_0^ I 1\ 8V + : 



— 4 V </ * [3(/ ^+iq • 4-. . .H- (4»' — i)*/ ' J cos(4/?i -t- i)a' 



m = l 



H»l+3)- f _ 1 _ 1 1 '" + ' 1' 1 



— 4^^ ' ^^ » + ...+ (4'" +1)9 " Jcos(4»i 4-3)^, 



m — 



Hj cns-.r .-^ 



v = n 



se 



— 8 V (— i)"'7-"''[— 2 (/-^ -(-...+ (— i)'"';>/7i(/-"'']cos4w j" 



\%m + \\- r _ 1 _ 2'" — 1 1' "1 



+ 8'y(— I)"'y ^ I 7"^ + ...+ (3W— l)(— l)'"-''/ ' J COs(4wi+ 2)a\ 



/H = l 



Dans ces formules, H(^), H, (s), 0(s), B,(") sont les fonctions de 

 Jacobi; de plus 



r;, 1=11,(0), ^, = 0,(o), = 0(0); z^B\x; 



F(N) est le nombre des classes de formes quadratiques binaires, positives, 

 à coefficient moyen pair, de discriminant ^, où les deux coefficients 

 extrêmes ne sont pas tous deux pairs; enfin, F, («) désignant le nombre des 

 classes analogues où les coefficients extrêmes sont pairs, on a posé 



J(iN) = F(N) + 3F,(N). 



Les classes «(x'^+ y-) et a(^-ix- -v- 2 <;y + v") comptent respectivement 

 pour! et ^. 



2. Maintenant, dans la première formule fondamentale, faisons ^=3' 



et égalons les coefficients de cf^ dans les deux membres. 



On est conduit à distinguer trois cas : 



i" IS;^— I (mod j). On trouve, en utilisant la transformation du troisième 

 ordre des fonctions elliptiques, que le coefficient de cj^ au premier membre 



est — J^^A r/ désignant tout diviseur de N à conjugué impair; dès lors, il 



