SÉANCE DU i" JUILLET 1907. 7 



Vient 



— 3 y d' = 2 2 F[8 N - ( 2 w + 1 )'] cos( 2m 4- 1) I - 2 V (a, - a). 



La dernière somme est étendue aux d<''e< impositions 2N ^ 0,0, où o, est 

 pair, impair, et 0|>o; si l'on cond)in(> cette l'orniule avec celle qu'on 

 ol)lienl en faisant r = o dans la première relation fondamenlale, à savoir 



(,) o = ^ l'^ [8N - (2m + i)'J- 3^(5,-0), 



/H=:0 

 < 



on trouve 



(2) ^F(S^~giJ.'-)=. y,/, 



< 



(JL parcourant tous les enliers impaiis, [losilil's ou urj^alils, cl h tous ceux de 

 ces entiers qui ne soni |ias multiples de i. De plus, u et A sont tels (jue 

 8N — r)[j.^ et 8N — A^ soient positifs. 



2" N ^+ I (mod'i). On trouve de même 



(4) "^F^SN-hn = 2^cl, 



< 



(5) 2F(8N-9Hn = -32'''-H22('3,-^); 



les quantités 1/, 0,, 0, u., h ayant la même sit;nification que plus haut. 



3° Ne^o (mod3). On a des formules analogues, mais un peu plus conqdi- 

 quécs; toutefois, si N, multiple de 3, ne l'est pas de 9, les formules (2) 

 et (3) subsistent. 



3. Faisons r = ^. puis x = o, dans la seconde formule fondamentale, et 



combinons les relations obtenues : nous arrivons, en distinguant encore les 

 trois cas de N s; -f- I , —1,0 (mod 3), à exprimer les deiix sommes 



yj(N-9/H') et 2J(N-A-^), 



< < 



