lo Iacadémie des sciences. 



nombres de classes, et qui se rattachent à la fonction modulaire do l'ico- 



saèdre. 



5. J'ai obtenu des formules d'une nature différente en partant des déve- 

 loppements en série des fonctions H-II;0, :0' et H^H,0^:0=; je n'en 

 indiquerai que deux. D'abord : 



(I.) ^{-irF[2f^N-{6m + :Y]=-yà(^j±^y, 



OÙ N est un entier (positif) quelconque; au second membre, la somme 

 s'étend aux décompositions 



d et r/, étant de parités différentes, et un seul d'entre eux étant multiple 

 de 3; quant à ( -3 — -r )> c'est le symbole classique de Jacobi. Et enfin : 



(,2) 2(-')"'P(24>J-.-24m^)=-2*(^ 



7n—0 

 < 



OÙ la somme, au second membre, s'étend à toutes les décompositions 

 24N — I = ia- — 3b^, pour lesquelles b^ o, 2a > 3b. 



Cette dernière formule est intéressante en ce qu'il y intervient une forme 

 quadratique indéfinie, circonstance qui, je crois, ne s'est pas encore pré- 

 sentée dans les applications des fonctions elliptiques à l'Arithmétique. 

 J'aurai à revenir plus longuement sur ce sujet, et avec d'autres exemples. 



HYDRODYNAMIQUE. — Théorie approchée de l'écoulement sur un déversoir 

 vertical en mince paroi, sans contraction latérale et à nappe noyée en 

 dessous. Note de M. J. Bocssi\esq. 



I. Les mêmes principes qui m'ont permis, dans une Note du i[\ mars 1907 

 (Comptes rendus, p. 668), de donner une théorie approchée de l'écoulement 

 sur un déversoir à nappe libre inférieurement, s'appliquent lorsque la nappe 

 est noyée en dessous, pourvu qu'on assimile à an fluide mort, ayant sa pres- 

 sion hydrostatiquement croissante de haut en bas et donnée directement au 

 niveau du seuil, la masse liquide qui tourbillonne sous la nappe. La hauteur 

 de charge étant appelée h et le poids de l'unité de volume liquide çtg, nous 



