BD'— DB' 



= ::^ ( BD' - DB') (CA' - AC). 



Toute racine simple de P doit être doul)le pour BD' — DB' ou pour 

 CA' — AC. Et cela suffit pour que les trois résidus de cette racine soient 

 nuls. En particulier, si elle annule A, elle doit annuler B et être triple 

 pour A ou pour B. 



Soit n le degré des polynômes //, A , /, P, dont deux peuvent être de degré 

 moindre. P aura n racines, certaines pouvant être infinies. Si ces n racines 

 étaient simples, P sérail de degré // ou // — i cl ( BD' — DB')(CA'— AC), 

 qui est au plus de degré 2/1 — 4, ne pourrait pas être divisiltle par P-. Donc 

 le polynôme /*- + A-^+ /- ne peut pas avoir n racines doubles (j'avais déjà 

 démontré ce résultat pour les courbes réelles). 



Supposons que P ail // — 2 racines simples et une racine double, que 

 l'on peut rendre infinie. Par un cbangement d'axes réel, on peut rame- 

 ner / à être de degré inférieur à /i et AB à êlre de degré «; D sera de 

 degré inférieur à B et C de degré inférieur à A. Les deux polynômes 

 (BD'— DB')(AC— CA) et P- étant de même degré, on doit avoir 



BD'-DB'=QS ,,^^r,^3c = XQR, 



AC'-CA'=RS 



où A est constant; QR n"a que des racines simples. On en déduit 



( 



^_ QR 



^-'âb' 



AQ et BR sont de même degré. Une racine commune à A et (^ sera triple 



,^ , , BR 1 AQ'— QA' ,^ , 



pour B et disparaît au dénominateur de -^-^ el de q — Un aura donc 



/ AQ . /R' B'\ 



(Xq-^-^-^'-(q-aJ' 



^^^-=li^ = BR'— RB'= /(QA'— AQ'), 



