5i) ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les intégrales de l'équation r/Z/ferc/z- 

 fi"e//e y'+ Ao'k'+ Aj^' = o. Note de M. Pierre Boutroux, traiis- 

 ■ mise par M. Painlevé. 



L'infini est en général point singulier transcendant pour les intégrales 

 de l'équation 



(i) j'+ A„+ A, >• + A,}'- H- A3/^ = o, 



OÙ les A sont des polynômes en x. J'ai déjà indiqué {Comptes rendus, i8 fé- 

 vrier 1907) comment l'étude de ce point transcendant pouvait être décom- 

 posée : 1° étude d'une branche d'intégrale isolée; 2° étude du mécanisme 

 par lequel les branches s'échangent entre elles. J'ai énoncé de plus quelques 

 lois générales auxquelles obéit la croissance des branches d'intégrale de (i) 

 lorsque x s'approche de l'infini. Je voudrais préciser ces lois, et achever, 

 autant que possible, ce que j'ai appelé l'étude d'une branche d'intégrale 

 isolée, me plaçant pour commencer dans le cas particulier où A(, = A, = o. 

 Ce cas est caractérisé, quant à l'essentiel, par les circonstances suivantes : 

 Appelons caractéristique toute branche d'intégrale suivie à partir d'une 

 valeur initiale donnée le long d'un chemin rectiligne, et regardons une 

 branche d'intégrale (au sens restreint) comme constituée par l'ensemble 

 des caractéristiques issues d'un poin l initial fixe x^ avec une valeur initiale 

 déterminée Vo. Si le module dey^ est assez grand, la branche d'intégrale de 



(2) y'-t- A2 j--t- A3 r' = o (Aj et A3 polvnomes en x) 



que définit cette valeur ne présente qu'une pluralité finie de points critiques dont 

 le nombre est déterminé par les degrés des polynômes A, et A,. 



Pour établir ce fait, et pour étudier en détail l'allure d'une branche d'in- 

 tégrale de (2) au voisinage de a; — oc, il y a lieu de distinguer trois cas, 

 suivant que les degrés m., et «z., des polynômes Ao et A3 sont tels que 

 "^3= 2^2 "•" -1 '"3= -'"2 ou m^ = nrn., + i . 



Je traiterai dans cette Note le cas m^ ^ -im., + 2. 



L'équation (2) peut s'écrire 



(3) y=-\ ^c'=A„G + A3, 



(4) - = v/Ç. Ç'=2A,s/f+A3. 



Nous nous placerons à l'extérieur d'un cercle S de centre O et de grand 



