SÉANCE DU l" JUILLET [907. 5l 



rayon r (la valeur de r sera déterminée par diverses conditions énoncées 

 au cours de la démonstration), et nous considérerons une branche d'inté- 

 grale "C qui admette pour point critique un point x, de module supérieur 



à r'"^, a étant un nombre positif égal à ! 



Soit — le coefficient de .r"'« dans A,. 



Nous choisirons r de manière que l'on ait, lorsque | a; | > r, 



|2A3-«3^"'.|<|x|"'.-'-S l2A,]<|^r^^<U|^-'"i, 



£ étant un nombre qui sera arbitrairement petit avec r^'. Suivons alors 'Ç à 

 partir du point critique x, ou = = ^/l = o. 



I. Faisons d'abord croître x indéfiniment sur un chemin direct (') L. Je 

 constate que, tant que l'on a sur L l'inégalité 



(5) |q<-|^|«..+i+c_ 



on en déduit l'inégalité 



(6) |ç(^.)_^!i^(^"-.+._^»-,+.) <2Aixr"^"'i^-x,i, 



I "'3 ~I~ ' 



K étant le nombre fini qui figure dans la définition des chemins directs ('). 

 Or, il est clair que si l'on a pris assez grand le rayon r de C, l'inéga- 

 lité (6) entraîne a fortiori l'inégalité (5), quelque grand que soit \x\. 

 On en conclut que l'inégalité (6) ne peut cesser d'être satisfaite lorsque x 

 s'éloigne indéfiniment sur le chemin L. 



II. Faisons maintenant décroître x à partir de x^ sur un chemin direct 

 mais ne pénétrons pas dans le cercle 2 qui a pour centre l'origine et pour 



rayon \x, l'"*^" a = ^, ^^'_^ • Je constate que, si l'on a pris r assez grand, 

 on a, sur le chemin considéré, l'inégalité 



(7) 



Ç ( .c ) î — ( x"'.+' — ^"'»+i ) 



< 2A-|Xi| 



(') Je tléfinis les cliemiiis directs par la condition suivante : x ei. x' étant deux 

 oints quelconques d'un cliemin direct, le 

 un nombre fixe A", quels que soient x et x' , 



■ . 1 ,,,.,. , longueur arc xx' . „ . 



points quelconques d un cliennin direct, le rapport ^—^ ^^^ est inférieur à 



