SÉANCE DU H JUILLET 1907. 107 



rithmique pour cette brandie. Il en résulte ((u'il y a identité entre les deux 

 catégories suivantes de valeurs de x : 



1° Les valeurs limites possibles de F(z ) quand ; s'éloione à l'infini sui- 

 vant un chemin arbitraire. (]es valeurs de .r sont aussi.ccUes pour lesquelles 

 l'équation (i) a. des racines infiniment grandes. 



2° Les points critiques logarithmiques de la fonction inverse, qui ne sont 

 pas des points limites de points critiques algébriques. 



Je me suis proposé de chercher le nondue maximum de ces points (que 

 je désignerai par A) pour une l'onction d'ordre apparent fini p. En m'ap- 

 puyant sur la propriété i", j'ai été conduit au théorème suivant : 



Thkohkme L — Lr nomhre ries points A ne surpasse pas le plus grand en- 

 tier contenu dans 2p. 



Pour l'établir, je me suis proposé de démontrer la proposition suivante : 



Théorèmk il — Soit dans le plan de la variable z une r<iiii-he C allant à 

 Vinftni et soit C la courbe obtenue en faisant tourner ( 1 autour de l'origine 



d'un angle égal à -^—^ — ' , y. étant un noiidire fini, arbitrairement petit. S'il 



existe deux chemins V ^ et Y^ continuellement compris entre C et C et tels (pie 

 F (5) tende suivant l'un vers une limite a et suivant l'autre vers une limite b, 



on a 



a = II. 



J'ai pu démontrer ce théorème dans les hypothèses suivantes : 



1° Si G est un rayon recli ligne paitant de l'oili^ine et, plu> généra leinenl, si les deux 



,-r>r' .... 1, ,71 — <X 



chemins 1, et 1., sont intérieurs a un angle île giandenr — avant son sommet a 



P 

 l'origine, ponr les arcs de ces chemins conipiis entre deux cercles de ravon H, et H2, 



R, pomant prendre une intinité de valeurs croissantes telles que — soit infiniiiient 



grand; 



2° Si G est une spirale d'équation /■ =: e '' (.; = /e'™). Ou constate alors que le 



TT OC 



théorème s'applique même si l'angle de rotation amenant C sur G' est (i + />■). 



Dans ce second cas, on trouve la même exlension que dans le premier. 



Incidemment, on a ce théorème (encore susceptible de la même exten- 

 sion) : 



Si sur la spirale /• = e '' où b^ \!j.f — i , on a constamment 



I F(c) I < consl., 



F (s) est une constante. 



