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On est cpnduil ensuite aux théorèmes suivants : 



Théorkme I. — Les hélicoïdes sont les seules surfaces engendrées par des 

 hélices circulaires qui forment une faniille de courbes sur lesquelles la courbure 

 totale reste constante, la valeur pouvant varier d'une génératrice ci l'autre. 



CoROLLAiHE. — Les liéUcoïdes à courbure totale constante non nulle sont, 

 parmi les surfaces engendrées par une hélice circulaire, les seules qui soient 

 applicables sur la sphère ou la pseudo-sphére. 



Théorkme II. — I^es seules surf aces développables engendrées par une hélice 

 circulaire son/ : 



I" Les hélicoïdes développables ; 



2" lues cônes ou cylindres admettant comme directrice une hélice circulaire. 



Théorème III. — Les hélicoïdes sont les seules surfaces engendrées par une 

 hélice circulaire dont les génératrices soient des courbes à courbure moyenne 

 constante, la valeur de celle-ci pouvant varier d 'une génératrice à une autre ou 

 être constante mais non nulle sur toute la surface. 



Problème. — Trouver la surface minima engendrée par une hélice cir- 

 culaire. 



On trouve que les seules surfaces répondant à la question appartiennent à 

 la classe des surfaces à plan directeur et dont la génératrice est à pas linéaire 

 constant. 



Elles sont caractérisées par les trois équations différentielles 



I [K„«'+p(c'n' — w'v) + 2 Cl»'] (p--i- Kj) H- K(,pw(w'--i- r^ 4- »'-— i) = o, 



(6) [Kuc' + p(«'n'— ir'«) 4-2«n'](p=+ Kj) + k(,pr((r' + (''' + n'2— i) = 0, 

 ( [Ko(«i''— v'u) -+- p(i''] (pî^ K^) -\- 2irlv^ + irp^M-H- <''-i- "'"+ — O, 



dans lesquelles les dérivées «', c', w' sont prises par rapport au rayon p. 



Je me bornerai à signaler les deux séries de solutions de cette question 

 formées par les hélicoïdes minima et par une classe de surfaces $ constituée 

 par des surfaces dont l'axe de la génératrice décrit un plan. Si Ton choisit 

 ce plan comme plan des Y = o d'un système fixe OXYZ, la famille consi- 

 dérée aura pour équation 



(7) x — f(p)-\-pcoscf, / — psincp, 3=Kocp, 



la fonction /désignant une fonction primitive quelconque de la fonction u 

 déterminée par l'équation différentielle d'intégration immédiate 



(8) kow'(p--l-K„^) + k„(/(;/^— i) = o. 



Cette équation admet trois solutions singulières très remarquables. 



