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el formons l'expression 



On peut poser pour chaque fonction J\z) satisfaisant aux conditions du 

 problème 



(3) /{z) = Q(z)o{z), 



en remarquant qu'Ici 9(:;) est également holomorplie à l'intérieur du 

 cercle | ;; | = Il et que 



(4) o(o)= — —^ = i Ml - 1 — r^i' 



La valeur absolue de Q(:;) étant constante sur le cercle | s | = R, on peut 

 Gcrirc 



H" ' 



il s'ensuit que 



M^max.|/(R.-'0)|^ l"'l-l"^^|;--'''"l max.|9(Hc''')| 



et comme, à cause de (4), 



AR'^" 



max.l5;(Re''') 1 L ■ — -— j — — r— rr' 



\al\.\('i\---\<\ 



on aura finalement 



AR" 



La fonction f/e/nandée ne jiciit donc cire que 



car, dans ce cas seulement, la relation (5) est une égalité. 



L'inégalité (5) est une conséquence du théorème connu de M. Jensen ('), 

 mais la méthode élémenlaire que nous avons employée permet de constater 

 du même coup l'existence d'une fonction ralionnelle pour laquelle la limite 

 inférieure de M est elTectivement atteinte et de voir que cette fonction est 



(') J. JiiNSii.N, Sur un nomcl el imporlant ihéorèine de la théorie dus Jonctions 

 (Acta mathani.. t. Wll, 1899, p. 359-364). — Pktf.usen, Functionstlieorie. Co- 

 pentiague, 1898. 



