SÉANCE DU l6 JUILLET 1907. 167 



alors on pourra toujours calculer les p + \ constantes a„, a,, ..., a.p, de 

 manière que l'on ail 



(9) a^ + a-^ -h... + «;, = ! 



et que les trois fonctions harmoniques u, i>, ix\ avec les râleurs limites 



(10) U'——U'^ ^— / iB T- I V — , ■ • -, a la surtace cr, 



in dy J r m az J^ r 



remplissent l'inégalité suivante : 



(n) f Qj' -h u +'v' + v>') rtrr El, / ( r/J + i,' + n^ + iW^ ) rfr --(- e'^ cp^ 



où. tp et t sont des nombres positifs que V on peut faire aussi petits que l'on 

 veut en agrandissant p, et qui ne dépendent nullement du clioix des fonc- 

 tions Uj, Vj, n'j. 



Déplus, on aura toujours les inégalités suivantes : 



abs. \0\], abs. | » |;, abs. | j 



(12) s , I 



^ ' > abs. w 



■2 _ rconsl. fin. / r , r,; o , .» j 



où t est un nombre positif quelconque que l'on peut choisir aussi petit que 

 l'on veut, la constante finie ne dépendant que de la surface a et de S.. 



En appliquant, à Taide de ce lemnie, la mélhode des approximations 

 successives au problème (i)(3), on trouvera les solutions en forme de 

 séries procédant par puissances du paramètre X, si X n'appartient pas à une 

 suite de nombres Ày. satisfaisant à la condition 



(i3) |Xx|>i 



et ayant un point essentiel singulier à l'inOni. 



On démontrera ainsi l'existence de triplets U^, V^, W^, harmoniques 

 dans T et satisfaisant aux conditions limites 



Ux = ^x ( — U.^ + — ^ / î^x — — -^ i '^y.'^\ ■■■ à la surface a, 



