SÉANCE DU 29 JUILLET 1907. " 3o3 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les représentations linéaires homogènes des 

 groupes finis. Note (') de M. de St-fiiiER, présenlée par M. Jordan. 



Le but de cette Note est d'apporter certaines simplifications à la théorie 

 de M. Schur (Cr., t. CXXYII et t. CXXXII) Ç-). 



1. Soient (j'„ = ;/>,, ..., b-n «1, •••! ^'>- c■~^\ ••••, «x' i un groupe défini par 

 'Bj{h)=aj(j ^ l, ...,/«), ù^' a/J)i= a,,^ Ai(a) = i [By(/v) et A,(a) étant 

 respectivement fonctions des b et des a] où les A, = i se composent des con- 

 séquences A, = lia*"' = I des Bj = aj^ h^' a/J}/= U/, entre a*', ..., a'jj et 

 d'équations A,, = i exprimant que a^/^, , . . . , al'' sont permutables à a^' , . . . , 

 rt*' ; A„ le plus j)etil commun multiple des «; ,%, celui des éléments d'ordre 

 fini de ^l,„ (x ne dépend que de (j,, | el,„ = F dont il est dit le mullipllcatear; 

 je supposerai F d'ordre N fini); X, un L;roape d'éléments d'ordre infini tels 

 que .%„ soit le produit direct de A> par .1 , . Les équations A,^ = i peu\ent(^) 

 se mettre sous la forme a|'' = . . . = a'/ = i , a^a^. = a^.fl^ (i, /: = x , . . . , m ; 

 r^m\ Ao = J a, , . . ., rt'^! et l'on en déduit que l'on peut trouver des substitu- 

 tions linéaires b^, ..., a, vériliant les écpiations de (Jo, o,, . .-, «) étant des 

 similitudes (substitutions de la forme | Xa;, ^j, . . . |) de multiplicateurs 

 donnés vérifiant A, = i [un tel groupe de substitutions sera dit une Jiyper- 

 représenlation de F appartenant au système (a,, . . ., a,„)\ et que le commu- 

 tant G de Ça contient X et est premier à A,^. 



Soient \ = m et (ce qu'on peut toujours supposer) B^ = b''/ pour /= i , . . . , v. 

 Comme les équations de (j„ | e permettent d'exprimer B^ par les b]', les a) se- 

 ront dans j rt, , . . . , «v ! = œ- Donc X^ \ tO est fini et le rang m - r de X, est<v. 

 Or considérons une hyperreprésenlation de F répondant au système 

 ((7,, . . ., T,„) [c7y= By(T), les T étant des similitudes arbitraires]. Les a, vé- 

 rifiant les mêmes équations que les a (quand on regarde les b comme per- 

 mutables), peuvent s'exprimer comme eux par /n — r indéterminées. Mais, 

 (j, = T'JS . . . , '7, = zV étant arbitraires, m — /-est > v. Donc m — /•= v. Si l'on 

 fait a, = . . . = a., = I , le groupe auquel se réduit ç„ est fini et contient X, 



(') Présentée dans la séance du 8 jiiillel 1907. 



(-) Je me servirai des mêmes notations que dans mes Éléinenls de la théorie des 

 groupes abstraits (Gauthier-Villars, 1904), auxquels je renverrai par la lettre E. 



(3) En prenant la notation additive, cela revient à la réduction d\in système linéau-e 

 (£'.,20.'), 207). 



