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car les équations a, = . . . = a, = i résolues par rapport à a^^, , . .. , «'„, doivent 

 fournir exactement jn — r =^ v relations de la forme à^-^ o,(a\, ...,a',.) 

 (j = /- + i, ...,m). 



2. Soient A un diviseur de .i,, G un groupe de commutant C, tel que 

 G I A^ r, A divisant le central de G : G sera dit une extension de T par A, 

 normale si C contient A (et alors si A^.l>, G sera d'il //guratif de T : ainsi 

 (i„| ,A,, = (J est un figuratif de F), anlinormale si C est premier cà A. Dans le 

 dernier cas, (j a des équations de la forme 



o? - -fii^n gigj = gjgir,ijKu{i, y = 1 , . . . , (7), g-' y/,,§v= y/,/ 



(Ya parcourant les générateurs de C, •/],, ■/],-, étant dans A et "Ç,-, C,y, -,7, dans C) 

 jointes à celles de A, C et à celles exprimant que A divise le central de G. 

 En réduisant C à i, les j§- deviennent permutables; donc ^1,7= i- En rédui- 

 sant A à I, on a les équations de F; donc les C sont déterminées quand les g 

 le sont mod C. D'ailleurs, les équations de G n'établissant aucune relation 

 entre les y], {E., 17, 19), ils sont arbitraires. Or, en remplaçant gi par 

 un élément de A^,, yj, est remplacé par y];OJ', G, étant quelconque dans A, 

 et le nombre des Q distincts se détermine alors aisément. 



3. Prenons pour F le g-^», c-p — rf/" = e^ = i , e~^ de = dc^ de = cd, ec = ce 

 (p premier). g„ sera défini (je ferai désormais X = 7?i) par cp — a, d'' = l, 

 e.P = Y], d~'cd = ca, e~'ce = cb, e ' de = dc'C et les équations exprimant que 

 a, ç, y], ■(, a, èsont normaux. Les conséquences des équations de (]„ entre 

 a, ç, •/], 'Ç, a. /> se réduisent, en considérant leur forme typique (E.. 17) et le 

 groupe obtenu pour a = E = •/] = c = i (E. , 157, 150), k a^ = bP — v^p = i 

 si y? > 2, à a = ^ = a'C = I si/j = 2. Donc a = i si /> = 2. Si/J > 2, ci est 

 abélien non cyclique d'ordre />-, et les figuratifs de F sont (E., 157) tous 

 les gy de figure (i i) (i ) (i i) pour les(|uels l'invariant (loc. cit.) est égal 

 à I. On traite de même le cas où F est le diédral général ou un de ses figu- 

 ratifs, et l'application au go,c, de liesse est immédiate. 



4. Supposons F abélien et ii!'y= aj de la forme b'j- = Uj pour jSv et de 

 la forme b]_' b/b;,b^' = a^t (en mettant a/,/ pour Oj) si y> v. Des équations 

 de la seconde forme on tire a^^/= i, o,,/ étant le plus grand commun divi- 

 seur de ç,-, qi. D'ailleurs les conséquences des iP,,^ = Œj entre les a ne peuvent 

 contenir que les a,,,{E. ,17) et, en faisant «, = ... = Ov = i et en adjoignant 

 successivement é, , . . . , i^ au groupe d.' défini par d'^l = \ , a^/af^'/'= a^i-a^i, 

 on a un groupe d'ordre Nno;,v(£J., 19). Donc o1'= A{E., 18) et u. = ïlo^,. 



5. Considérons le produit direct de F par un groupe F' (pour lequel [i/;., 

 />A, ..., Ço, ••• seront remplacés par p^, b'^_, ..., (;[, ...). Soit SCo le groupe 



