SÉANCE DU 29 JUILLET 1907. 3o5 



défini par les équations By(^) = a^-, B_^(Z*' ) = a'j, b,,b'f.'= '^b^,b\'^'k'^k et celles 

 exprimant que les a, les a' et les a" sont normaux; X^ le plus petit com- 

 mun multiple des a"; X" celui des éléments d'ordre fini de X'^\ 5C un groupe 

 déduit de JCo en réduisant Xo,s,l,î, A.'^ à a,A/.l,". En égalant à i les éléments 

 de e et de G' on trouve que JC contient normalement SS' et que Je|e3' est 

 une extension normale de rr'|KK'^3e|a,"ee'. On en déduit immédiate- 

 ment le multiplicateur comme au n° 4. 



6. Prenons enfin pour F le groupe Tj(2, t.)(t: ^=p'^:i p premier) des sub- 

 stitutions \ax -{- by^ ex + dy\ où ad — /yc = i, a, b, c, rf parcourant le 

 champ de Galois C„ d'ordre ti. Soit G une extension normale de U par X 

 et, [j. ayant la forme p^, P un g„^/ de G, I un gpP- de X. G|I est une exten- 

 sion normale de F par A|I. Or, le normalisant de P|I dans G|I, d'ordre 



«7T(Tr — 1) , . . . , , 



) n existe que si ti :^ 4 ou 9 ( ' ). 



On en déduit à nouveau (^) comme M. Schur que tout groupe H qui a 

 la même suite de composition que U et n'est pas produit direct coïncide 

 avec U. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur ks équations différentielles du troi- 

 sième ordre à points critiques fixes. \ote de M. Chazy, présentée 

 par M. Painlevé ('). 



M. Painlevé a montré que, pour la détermination des équations du troi- 

 sième ordre et d'ordre supérieur dont les points critiques sont fixes, un 

 problème préliminaire s'impose, celui de la détermination de toutes les 

 équations de la forme 



(') Société malliémalique de France, t. XXXIII, 1900, p. 200. Le raisonnement 

 s'applique lorsqu'on remplace «7" par un nombre quelconque premier à p. La fin de 

 Tarticle demande quelques corrections que le lecteur fera aisément et que j'indiquerai 

 ailleurs (en particulier, à la page 200, les y,, 0, doivent jouer le rôle de £, de la 

 page 2^7). 



(') Société mathématique de France; t. XXXIl, 1904, p- 121. 



(') Les résultats renfermés dans cette Noie et dans la suivante ont été obtenus 

 simultanément, et d'une façon tout à fait indépendante, par deux jeunes analystes : 

 MM. Chazy et Garnier. P. Painlevé. 



