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dont l'inlégrale générale est uniforme; n est nn entier positif ou négatif, ou 

 bien n est infini; h et c sont des fonctions algébriques de j. 



Pour n = — 2, h = o, les fonctions uniformes définies par l'équation (i) 

 sont les fonctions aulomoiplœs. Dans tous les autres cas, où l'intégrale 

 générale de (i) est uniforme, elle peut, d'après un théorème énoncé sans 

 démonstration par M. Painlevé, s'exprimer à l'aide des transcendantes de 

 la théorie des fonctions elliptiques ou de leurs dégénérescences. Je me pro- 

 pose, dans celte j\ole, de donner la forme explicite de l'intégnile générale, 

 en me limitant au cas où les coefficients h et c sont rationnels. 



Pour étudier l'équation (i ) on la renqilace par le système 



, , 4^' ,7;r-i d-ii , (lu II -+- I 



(Ijc- dy- ^- dy n - ' 



En un point ordinaire de h et c, les intégrales de l'équation Hnéaire du 

 second ordre appartiennent à l'exposant zéro, sauf une qui appartient à 

 l'exposant i. Toutes ces intégrales donnent pour y des fonctions uni- 

 formes dans le domaine correspondant au domaine de la valeur de y consi- 

 dérée, sauf, dans le cas de n = —2, la dernière; runifnruiité de cette 

 dernière intégrale exige h = o. ■ 



Ainsi donc, pour 7t = — 2. nous ji'rnons comme fonctions uniformes que 

 les fonctions automorphes ou leurs dégénérescences. 



Considérons maintenant un pôle de h et c. Ce pôle doit satisfaire aux 

 conditions de Fuchs pour l'équation du second ordre. Les racines r, et /•., 

 de l'équation déterminante fondamentale doixeut être de la forme 



+ ' /' I \ n +-1 / \ \ 



N, et Na étant des entiers positifs, négatifs ou infinis ; et de plus, si r, > a,, 



etsiN, est fini, ^^-^fi — j^ ) doit être encore un entier. Si la différence 



7-. — /•, est un entier z^ o, il ne doit pas y avoir de logarithme dans les inté- 

 grales de l'équation linéaire; si enfin r.^^r,, le nombre No = N, correspon- 

 dant doit être infini. Il faut appHquer ces conditions à chaque pôle, puis au 

 point y — ce, et l'on trouve alors que le nombre des pôles, qui dans le cas 

 des fonctions automorphes n'est pas limité, est limité dans tous les autres 

 cas : son maximum est 4 si /< ^ 1 , et G si « = i . 



Les intégrales générales se divisent en deux catégories. On est conduit à 

 la première en généralisant la forme de l'intégrale i;énérale des fonctions 



