SÉANCE DU 29 JUILLET 1907. 3o7 



aulomorphes : -j^ — û = /{y)- ^^ foncLioii y définie par l'cqualion 



(A,r + B)''+' + C = /(j'), 



A, B, C étant trois constantes arbitraires, satisfait à l'équalion différen- 

 tielle 



|--)/"'(r)-/'(7)/"'(,r-) 



et la fonction définie par Téqualion e*'"^" + C =/{}') satisfait à cette même 

 équation où l'on rend n infini. On doit donc trouver ces fonctions comme 

 intégrales générales uniformes, chaque fois (jue dans l'équation z =/(y) 

 y est fonction uniforme de s, et que, en outre, les coefficients 6 et c déduits 

 de la fonction / sont rationnels en 7; c'est-Èi-dire quand y est l'une des 

 fonctions uniformes avec lesquelles Briot et Boucjuet ont intégré l'équation 

 (dps!" _ 1^ ^y^_^ ^ i-{M\\. un entier positd' et Iv un polynôme, y est fonction 

 rationnelle de :;, ou de e% ou Ijien fonction elliptique de :, 



Comme pour les fonctions aulomorphes, il suffit d'avoir une intégrale pour 

 en déduire l'intégrale générale. 



La fonction j définie par les équations 



: (J - a) {y-b) ( j - C) ( r - d), z" = (' - ^ h 



(pii pour À = ce est une des précédentes, vérifie aussi une équation de la 

 forme (i), et elle est uniforme si n a l'une des valeurs 1, ±: 2, ce et si ii-£k 

 est période de z. Pour n — — 2, :;' est fonction rationnelle de Kx ■^- B; 

 n^^rj:^, fonction simplement périodique de A.x'-|-B; « = i, 2, fonction 

 doublement périodique. Dans tous ces cas, z a des pôles simples de rési- 

 dus À; j sera donc fonction elliptique d'un logarithme; les zéros et les pôles 

 de ce logarithme seront pour y des points singuliers essentiels. 



Ces points sont mobiles, car .r ne figure dans l'intégrale que dans l'ex- 

 pression i\x 4- B : quant à la troisième constante, elle s'ajoute cà l'argument 

 de la fonction elliptique y de z. Dans le cas où cette fonction elliptique 

 dégénère, les éclations 



l'ilv'V- ,„ / \\z"- 11 + \ z'^ 



