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définissent une fonction uniforme pour /? = i, ± i>, oc et N enlier; mais 

 c'est une fonction rationnelle, simplement ou doublement périodique, 

 de Kx + B. 



Une seconde catégorie d'intégrales générales uniformes est obtenue en 

 considérant les écpiations 



y'- = A(ffoJ*H- «1 j' -+• «2 J=-t- «3 J -I- «0 + B(6„7* + b^y^ -t- b.,y'- + b^y -t- b.,), 



3. 



/"- = A(«„7'+ «i7--l- asj -h 03) + B(/;„j3+ *,>'-+ b,y -H 6,), 

 j' —\.{a„y-+ a^y + a,) + B{b(,y'^-h b^y -+- b.). 



n-Hl 



y n =Aj+B, 



(pii sont une forme de celles de Briot et Bouquet. Ces équations définissent 

 des fonctions uniformes et qui, si A et B sont des constantes arbitraires, 

 satisfont à des écjuations différentielles de la forme (i), où n a respective- 

 ment les valeurs : i, 2, 3, 5, qo, n. (3n doit donc retrouver toutes ces fonc- 

 tions comme intégrales générales uniformes. Mais il arrive que, si Ion fait 



1 

 sur l'équation en y le changement de fonction v = :^, N étant entier, l'équa- 

 tion en s obtenue, qui est toujours de la forme (i), ait ses coefficients ra- 

 tionnels en z. On trouve ainsi, avec les fonctions définies par les équa- 

 tions (3), des fonctions telles que, par une, deux ou trois transformations 

 successives _/ — a :=^ {y — (j)z^, z — a' r= (^z — b')i^ , ..., on arrive à des 

 fonctions :;, t, ..., définies par une éc[uation (3). On voit apparaître une 

 catégorie d'équations de la forme (i) mais à coefficients, non plus ration- 

 nels, mais algébric[ues, qui s'intègrent comme les précédentes. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les équations différentielles du troisième ordre 

 dont l'intégrale est uniforme. Note de M. Rgkë Garnier, présentée par 

 M. Painlevé. 



Soit une équation différentielle du troisième ordre : 



(U, rationnel en j'", y'). M. Painlevé a démontré (^Buli. de la Soc. mat/i., 

 t. XXYIII) c[ue l'absence de points critiques mobiles pour l'écjuation (i) 



