SÉANCE DU 29 JUILLET 1907. ^ioç) 



entraîne runiforniilé de l'intégrale d'une tkjuation de la forme 



que l'on déduit de l'équation (i) et (lu'il appelle la simpli/iée de l'équation 

 proposée. (Le nombre n désigne un entier positif, négatif on infini, mais 

 différent de o et — i.) Je me propose, dans cette Note, en me limitant au 

 Cifs où h et c sont rationnels en j, d'intégrer explicitement l'équation (2) 

 quand son intégrale générale est uniforme. 



Je vérifierai aussi, conformément à un théorème énoncé sans démonstra- 

 tion par M. l^ainlevé, que cette intégrale se ramène aux fonctions auto- 

 morphes ou dégénérescences. 



On sait qu'on peut substituer à l'équation (2) le système 



dx — r— 7 



/ o \ , . " -+- 1 



(-) Ty-' ' 



{f^) ,/'_i(j-)i.'+c(_v)r = o, 



OÙ les accents désignent des dérivées par rapport à y. 



Je montre tout d'abord que les intégrales de l'équation {\) doivent être 

 régulières au voisinage de tout point singulier a,- de l'équation, y compris le 

 point à l'infini. Les racines de l'équation fondamentale déterminante (e,), 



relative à «,-, sont de la forme (i + ^) ( 1 + ;^. ) ^^ y ^ Ti)v '^ j)' '^' 

 elpi désignant deux entiers. S'ils sont égaux, leur valeur commune est l'in- 

 fini; sinon, les produits de la différence des racines par m, et/;, sont entiers. 

 11 s'introduit ainsi une équation (E), à résoudre par entiers, qui joue un 

 grand rôle dans la question; elle fait connaître l'un des entiers to, et /j, en 

 fonction de l'autre et de /;; et l'on achève, en général, de déterminer les m, 

 en étudiant une seconde équation d'arithmétique introduite par la consi- 

 dération de la fonction b(y) dans le domaine du point à l'infini. En 

 général, on trouve ainsi un nombre liinilé de formes possibles pour les 

 coefficients b{y) et c(y). 



Il y a une seule exception : pour n = — 2, on doit avoir b(y)^E^o. C'est 

 le cas des fonctions fuchsiennes et kleinéennes de genre zéro. La considé- 

 ration du point y = ce montre seulement que c(y) a la forme bien connue 

 dans la théorie des fonctions automorphes. 



Lorsque n a une valeur arbitrairement choisie, la résolution de (E) 

 montre que, pour chaque (e,), la différence des racines est l'inverse d'un 



c. R., 1907, 2' Semestre. (T. CXLV, N- 5.) 4l 



