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enller; y est une fonction uniforme du rapport :; des intégrales de (4), la 



fonction i'(;) vérifiant une équation du Ivpcdc Briot et Bouquet : -y-^p(v) 



(p désigne la racine d'un polynôme) et :; s'obtient par la relation 



^ = (Ca; 4- C')"+ G", qu'il faut remplacer par z =^ e^'-^'^'''' -j- C", pour « 



iiilini. Soit encore A(_y) = ■ ; l'équation (4) s'écrit 



(■» F(c, = .."-(,-^^)A..'+(.-^i)(^.-^'j.^o. 



En conservant pour (E) la solution dont il vient d'être parlé, on obtient 

 encore pour n = — 2, i, 2, ce, des écjuations (4) ne rentrant pas dans le 

 type (5); ce sont les équations 



(6) F(o+l;i:(, + iy^=o (.=-.,,,..00. 



Ici, p(y) désigne la racine carrée d'un polynôme du quatrième (ou troi- 

 sième) degré, premier avec sa dérivée, et to représente une période de la 



fonction elliptique y = z>(u) définie par l'équation ('-j-j =/(,>'). Pour 



« = — 2, la fonction j(a?), ainsi obtenue, est Inen connue. Entre bien des 

 formes possibles pour les intégrales, on peut clioisir les suivantes : 



/=?("-i-C) 



et 



H = ^arc lang(A.r + B) («=—2); « = j^ arc cosp( A.r -|- B ; 4,o) («^Oî 



" = -^arc taiige'^-'^'+" (/i = cc); (/ ;= ^ arc cos[p(A .r -(- B; Oj/DJ^* (« = 3). 



Dans le cas de « = 00, 3, 2,1, l'équation (E) admet d'autres solutions 

 qui introduisent un grand nombre de formes possibles pour (4). Je me 

 borne à un résumé sommaire. La différence des racines de (e,) peut être un 

 entier, non nul; mais alors l'intégrale de (4) ne présente pas de terme 

 logaritbmique dans le domaine de (a,). Cette circonstance est importante 

 dans la discussion des équations (4)- Posons 



' XdJ_«, ^^ ' (y -a,)... (y -a-,) jL4(y-a,r-' 



' = I i - 1 



on jjeut supposer, pour réduire le nombre des équations à étudier, que 



