3 12 ACADÉMIE DES SCIEXCES. 



sentrc que s'il existe, entre les coefficieiils. R relations 



î{ — {m ~h i) ( n + i) (p -^1) — j(iii -^^ n -\- p) -h I. 



'2. (!)n peut déduire les systèmes u, r ou les trois systèmes d'un sys- 

 tème a', en remplaçant u' par des fonctions rationnelles de //, de r ou de \x-; 

 l'équation ijui représente l'abacjue peut élre divisée par un ou trois fadeurs; 

 ce sont des solutions étrangères à l'équation simplifiée. Une équation de 

 degrés (m,- m, p) peut être représentée en introduisant une solution étran- 

 gère de degrés (i, i, o); une équation de degrés {m, nt, ni), en introdui- 

 sant trois solutions étrangères de degrés (r, i,o)(o, i, i)(i,o, i). Le 

 nombre de relations est diminué dans le premier cas de 4 — 3«/ et dans le 

 second cas de.tS — 6/??. Les équations qui peuvent être représentées en 

 introduisant des solutions étrangères de degrés ( Vi, A', o) sont susceptibles 

 d'abaissement. 



3. Les équations de degrés (i, i, i) et (i, i, 2) peuvent toujours être 

 représentées. Nous avons résolu ces cas en 18^4 ('). 



4. Abaque sans solution étrangère. — L'équation donnée doit pouvoir se 

 mettre sous une forme linéaire et bomogène par rapport à trois fonc- 

 tions M, N, P de (?/, r), ce qui exige que R' déterminants de 4' éléments 

 soient nuls 



R = (/^-2)[(/«-F-i)(«-t-i) — 3]. 



On trouve ensuite R" déterminants, de 'î^ éléments, égaux à zéro. Enfin, 

 mn proportions, entre des déterminants ou des produits de déterminants, 

 complètent les R relations nécessaires et suffisantes. Les valeurs criticpies 

 correspondent aux droites communes à deux systèmes. 



5. Abaque avec solution étrangère. — L'i'quation linéaire en M, N, P peut 

 toujours être représentée par un abaque comprenant im système de 

 jdroites w et un réseau de lignes représenté par les équations 



.r ) ; 



M ~ N ^ F' 



( )n trouve les équations des lignes u ou r eu éliminant r ou u. C'est cette 

 élimination (pii iutrodiiit les solutions étrangères (205, 20G, 207, loc. cit.). 

 Lorsque le réseau est curviligne et que la courbe // coupe la courber eu 



(') Mémoire sur l'intc^ralion grapinqm:, n"* 177 à 207 [Annales des In^^énicui s 

 de Gand, i883-i884). 



