SÉANCE DU 29 JUILLET 1907. 3l3 



plusieurs points variables, on introduit des solutions étrangères contenant 

 les trois variables. 



6. Abaque contenant trois solutions étrangères des degrés (1,1,0) 

 (0,1,1) (1,0,1). — Considérons un système de droites de degré m4- 2 par 

 rapport à u. En un point du plan, on trouve 7^-1-2 valeurs de m; prenons 

 trois valeurs pour m, c, «•; on représente ainsi une équation de degrés 

 (m, w, m) symétrique par rapport aux trois variables. Pour représenter de 

 cette manière Téquation générale de degrés (/?z, /n, m)^ on doit d'abord la 

 rendre symétrique par deux transformationsbilinéaires effectuées sur ç' et «■. 

 Les conditions de possibilité et les paramètres des transformations s'expri- 

 ment au moyen de déterminants de (m + i)^ éléments. On obtient les R 

 conditions nécessaireset suffisantes en ajoutant, aux précédentes, les R' con- 

 ditions qui permettent la représentation de l'équation symétrique 



( /« H- I ) //( (m ^ \\ 



SX = ; • 



1.2.3 



Les valeurs critiques correspondent aux droites doubles du système u. 

 La surface, qui représente l'équation en coordonnées cartésiennes, contient 

 un hexagone de droites pour chacune des droites doubles du système u. 



7. Abaques à lignes mobiles. — La transformation de contact, ap|)li([uée à 

 un abaque ordinaire, introduit une ligne mobile ; l'abaque n'est pratique 

 que si cette ligne est invariable. Pour ce motif, nous avons, en 1884, for- 

 mulé de la manière suivante le principe des abaques à mouvement : on trace 

 sur un plan les lignes w, sur une feuille transparente mobile les lignes u, 

 sur une autre feuille transparente mobile les hgnes v. (_)n met ainsi en rela- 

 tions les variables (u, w,, u.,, «., ; c, i^, r.,, ('3; w). On augmente encore le 

 nombre des variables par les abaques accolés ( 186 et 187, loc. cit.) On peut 

 aussi diminuer ce nombre en égalant des variables entre elles ou à des con- 

 stantes. Lorsque u et c sont constants, les feuilles mobiles se réduisent à des 

 lignes invariables ; nous les supposerons droites. 



8. Système (u,, «. ; ir)- — Une droite (u^,u.,) passe par un point tv; 

 l'abaque est la figure réciproque d'un précédent : une droite sv passe par 

 un point (//,, u.^) d'un réseau. 



9. Système («, , u., ; r, »'). — Une droite {u,,u.,) passe par un poini (r, ir ) 

 d'un réseau de lignes. Toute équation à quatre variables peut être repré- 

 sentée de cette manière, quand on peut la rendre linéaire et homogène par 

 rapport à trois fonctions de deux des variables. Exemple : l'équation de 

 degrés (1,1,1,1) peut être représentée moyennant une seule condition. 



