386 . ACADÉMIE DES SCIENCES. 



ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les courbes intégrales des équations 

 différentielles. Note(')de M. Georges Rémol'nuos, transmise par 

 M. Jordan. 



1. Si le point (a;, y) se meut sur une courbe d'une façon continue, la 



dérivée —- n'obtient qu'une valeur unique aux points réguliers de la courbe, 



la succession des valeurs de la dérivée étant définie par le principe de la 

 continuité. Nous avons en elTet 



dv 



<p étant l'angle bien connu, qui ne peut avoir que deux valeurs différentes de 

 deux angles droits ayant la même tangente. L'existence de points singuliers 

 de la courbe interrompant la continuité de la variation de l'angle cp ne nous 

 empêche pas d'avoir la même conclusion. 



Cette remarque si simple nous conduit à des résultats intéressants : 



Envisageons d'abord l'équation différentielle 



(0 ^ = ^^(--^-) 



où M.{x, y) désigne une fonction multiforme des coordonnées x et _)', et 

 appelons courbes de permutation des branches de la fonction M(a:, j), les 

 courbes fermées qui permutent les branches de M{x, y) par la succession 

 continue des valeurs de la fonction M(^, j), lorsque le point (x, y) se 

 meut sur la courbe. Nous connaissons bien de telles courbes dans le cas où 

 la fonction M(a-, j) est harmonique multiforme, sur lesquelles la permuta- 

 tion a lieu pour un point de départ quelconque. 



Nous avons le théorème suivant : 



Théorème. — Aucune courbe intégrale ne saurait appartenir à l'en- 

 semble (E) des courbes de permutation des branches de la fonction M (a:-, y). 



Les autres dérivées j", v'", . . . ayant aussi la propriété de ne prendre 

 qu'une valeur unique sur les points réguliers d'une courbe et correspon- 

 dant aussi à des points réguliers de ses développées de divers ordres, notre 



(' ) Présentée dans la séance du 29 juillet 1907. 



