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et cette valeur maxima de\l\ est atteinte pour l'équation 



Nous appuierons la démonstration sur une conséquence que l'on peut 

 tirer d'un théorème de M. Schwarz ('). 

 Soit 



Considérons une racine Z de l'équation /'(;) = o différente des 

 nombres s,, r-o, ..., 3„; on obtient immédiatement, en considérant Fex- 



où 



/•,= |Z — s,| (/=i, 2, . .., n). 



Z est par conséquent le centre de gravité des masses positives ^ concentrées 



au point z,- et se trouve donc à l'intérieur de chaque figure convexe conte- 

 nant ces points. Toutes les racines de f'(z.) = o jouissent donc de la même 

 propriété. C'est là le théorème de M. Schwarz. On en tire le corollaire que 

 la valeur absolue de la plus grande racine de /(z) ne peut pas être moindre 

 que celle de la plus grande racine de f'(z) = o. 



Posons maintenant dans (i) x— '-; on aura, en prenant par exemple 



flo z'', -h fl, 3^-'. -+- a., ;''i^^j +«3=0. 



La plus grande racine "( = ^ sera, d'après notre corollaire, au moins égale 

 en valeur absolue à la plus grande racine de la dérivée 



ou à celle de 



V3fl„;^=+ (V3 — V,)f7i-V-'', -I- (V3— V„)(72= o. 



(') Je dois à M. J.-O. Mullei- d'avoir alliré mon attention à propos de la question 

 présente sur ce théorème, que M. Schwarz traite d'ordinaire dans son enseignement. 



