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La question suivante se pose : 



Lorsqu'une série tri gonornélrique cliver génie est sommahle par une autre 

 méthode {par exemple par la méthode bien connue de M. Fejér) et sa somme 

 s'annule dans tout l'intervalle (o, 2-) (sauf peut-être en certains points excep- 

 tionnels), peut-on en conclure encore que tous ses coefficients s'annulent? 



Au premier moment il paraît que la réponse sera négative. En eflet, 

 M. Fejér a donné un exemple simple, la série 



I 



h COS^ -I- COS2 J- + . . . 



2 



dont la somme esl nulle en chaque poini, oxceplé les points o et 211 ('). 



On a pourtant les théorèmes : 



Une série trigonométrique. dont les coefficients r/„ el h,, sont tels que la 

 série 



(A) ^\jlA±AM 



converge (^) et dont la somme s'annule sans exception en tous les points de 

 l'intervalle (o, 27:), a ses coefficients nuls. 



Les coefficients de la série lendanl vers o avec - , le théorème reste encore 



exarl lorsqu'on admet un ensemble réductible de points exceptionnels. 



M. ]-"ejér a ï;énéralisé le théorème de Hieiiiaiin par le lliéorème siiivanl (') : 

 Soit |«o+ ^"-n cosrij; + b„ s'innx une série Iri^'onométrique qui est sominable au 

 poinl .V par le procédé de La moyenne arilhméliqae el y donne la valeur f(.r). En 

 inléffrant quatre fois terme à terme, on parvient à une série uniformément conver- 



(') C'était M. Fejér lui-même qui a bien voulu attirer mon attention sur ce sujet. 

 ('-) Donc, notre théorème subsiste s'il existe deux constantes c et ot (où «<!), 

 telles que 



I a„ I et I ù„ I < cn^. 



D'ailleurs, il résulte d'une remarque de M. Fejér [tVi/e/\çac/!««^e/i iïber trigonom. 

 Reilicn (Matli. Ann., t. LVIIl, p. 63)] que pour les coefficients d'une série trigono- 

 métrique sommable, dans un intervalle, on a 



hm — = o, hm — =: o. 



Ou voit donc les séries pour lesquelles notre théorème est douteux. 

 {'■') Fejék, loc. cit., p. 68. 



