SÉANCE DU 7 OCTOBRE I907. 585 



génie F( j') pour laquelle on a 



lini ' 



= lim 



h = o 



t V / , ■ s /sin/i/; \* ^, ^ 



-ci„-\- 2j(n„cosn:,^- b„smna-) {-^^j —/{■^)- 



71=1 J 



Nous allons généraliser maintenant le lliéorème de M. Schwarz et cette 

 généralisation, jointe à ce théorème de M. Fejér, fournira la démonstration 

 de notre énoncé : 



Une fonction continue F(a;) aihnettant en tout point d'un intervalle une 

 dérivée seconde généralisée continue (' ) et une dérivée quatrième généralisée 



<]>(x) = lim y—-!- 



,. F(j;+2/0 — 41^(^-H-/0-i-6F(a7) — 4F(.r — /0 + F(./— 2/0 



=: lim ,. > 



/,=o /'' 



. , A' F ( r ) 

 la quantité ' ° est comprise entre les limites inférieure et supérieure de O 



dans l'intervalle (j7„ — 2/t, if„ + 2A) (I). 



On démonlreia d'abord le lerame suivant : 



La dérivée quatrième généralisée d'une fonction satisfaisant au.r conditions 

 énoncées est positive ou nulle en tout point où la dérivée seconde a un minimum, et 

 négative ou nulle en tout point correspondant à un maximum. 



Pour la déinonstr.itioii on se servira du ihéortine suivant de M. Hôlder {-) : 



Si une fonction continue f{x) a en tout point une dérivée seconde généra- 

 lisée 3(a'), la quantité 



AV(-go) _ /(■r„+ A) - 3/(.r,) +/(x„- A) 

 II' h^ 



sera comprise entre les limites inférieure et su/'érieure de ç en (z'o — h, Xn-h h). 



Ayant démontré notre lemine nous conaidérmis la fonction F (j^) aux points x^ — 2/1, 

 Xo — h, Xo, Xo+ /i, x„-\- ili. Alors il existe un polynôme de i|ualrième degré l^(r) tel 

 que F(,i) — P(.r) = o pour les cinq points considérés. Un calcul élémentaire donne 

 que V {x) doit être de la forme 



A' F^ -r > 

 ptj:) = ^-L}Ç±Lj:k^aj-'+bx^+cx^d. 



(') De la continuité il suit que c'est une dérivée seconde au sens ordinaire. 



(') HoLDER, Zur Théorie der trigonometrisihen Reihen (Math. Ann., t. XXIV, 

 p. i83). — Voir aussi : Lebksguk, 5m/' les séries Irigonomélriques (Ann. de l'Ecole 

 Norni., 1903, p. 458) et Leçons sur les séries Irigonométriques, p. 6. 



